¿Qué es un conjunto de generadores para el grupo multiplicativo de racionales?

Question

Estoy tratando de pensar en un conjunto de generadores para el grupo$(\mathbb{Q^\times, *})$, que creo que se genera contábil (a diferencia de finitamente generado). (Me pregunto si tal conjunto podría ser el primo de$\mathbb{Z}$ (junto con$1$ y$-1),$ que significa que el conjunto$\{1, -1, \frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, ...\}$ genera todos los ratios no nulos?

Answer 1

Tienes razón:$(\mathbb{Q^\times, *})$ es generado por los primos (positivos) y$-1$: $$ \ mathbb {Q} ^ \ times \ cong C_2 \ times \ bigoplus_p \ mathbb Z $$

Este es esencialmente el teorema fundamental de la aritmética.

Answer 2

Asumo la lista continúa en $\{\frac{1}{3},-\frac{1}{3},\frac{1}{5},-\frac{1}{5}, \ldots\}$.

Ciertamente dar una lista de los generadores; pero la lista es redundante:

• $1$ está contenida en cada grupo; no es necesario que se enumeran
• $-\frac{1}{2} = (-1) \cdot \frac{1}{2}$, por lo que sólo necesita incluir uno de cada asociado; es tradicional tomar el positivo en su lista y eliminar las negativas.

También, es tradicional lista de los números primos como los generadores, en lugar de sus inversos. Es decir, el típico conjunto de generadores que uno usa para $\mathbb{Q}^\times$ es el conjunto

$$ \{ -1, 2, 3, 5, 7, 11, \ldots \} $$

Este es un conjunto mínimo de generadores; la única relación entre sus elementos es

$$(-1) = (-1)^{-1}$$