Llenado de una matriz (Putnam)

Question

Alan y Barbara jugar a un juego en el que ellos se turnan para el llenado de las entradas de un vacío inicialmente $ 2008\times 2008$ matriz. Alan juega primero. En cada turno, un jugador elige un número real y lo coloca en una vacante de entrada. El juego termina cuando todas las entradas están llenos. Alan gana si el determinante de la matriz resultante es distinto de cero; Barbara gana si es igual a cero. Que jugador tiene una estrategia ganadora?

Esta pregunta ha sido publicado antes.

Vi a una solución recientemente de esta manera:

Cuando Alan se coloca un número en cualquier punto dentro de la matriz, Barbara coloca el mismo número en la columna, pero una fila hacia arriba o hacia abajo. Que fue ella las fuerzas de las filas linealmente dependientes, y el que resulta determinante es cero.

Este método funciona bien y he probado con valores arbitrarios en las matrices de menor rango.

Pero necesito ayuda en la comprobación de que este, de hecho, formas linealmente dependiente de las filas que lleva el determinante de la matriz es igual a cero?

Answer 1

Agrupe las filas en pares como$\{1,2\},\ldots \{2007,2008\}$. De esta manera, si Alan coloca un número, Bárbara colocará el mismo número en la otra fila pareada. Esto significa que una fila es idéntica a otra fila (de hecho, por construcción, cada fila es un duplicado de otra fila). Puesto que usted termina con dos filas iguales, las filas son linealmente dependientes (de ahí el cero determinante).