Recientemente he estado redescubriendo los espacios de productos internos y he desarrollado un par de preguntas sobre los ángulos definidos en espacios de productos internos generales.
Consideremos el espacio vectorial real $V$ equipado con el producto interno $\langle \dot{},\dot{}\rangle : V \times V \rightarrow \mathbb{R} $ .
Toma $X,Y,Z\in V$ . Definir el ángulo entre $X$ y $Z$ como $$\theta_{XZ} := \cos^{-1}\left(\frac{\langle{}X,Z\rangle{}}{||X|| \dot{}||Z||}\right)$$ y definir $\theta_{XY}$ y $\theta_{YZ}$ de manera similar. Entonces, ¿es posible demostrar que:
(i) (una especie de desigualdad triangular)
$$\theta_{XZ} \leq \theta_{XY} + \theta_{YZ}$$
(ii) en el caso de que $Z=Y-X$ , $$\theta_{XY}+\theta_{YZ}+\theta_{XZ}=\pi$$ (es decir, los ángulos interiores de un triángulo suman $\pi$ )?
En el caso $V=\mathbb{R}^2$ Estos resultados son conocidos por los niños de la escuela secundaria. ¿Son verdaderos en cualquier espacio de producto interno real?
Gracias.
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¿Has oído hablar alguna vez de los triángulos obtusos? i) no es válida para ellos.
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Creo que puede estar confundiendo la definición. Tratando $X,Y,Z$ como ángulos de un triángulo y $\theta_{XY}$ como el ángulo en $Z$ subtendido por $XY$ entonces tienes razón, (i) no se sostiene. Pero $X,Y,Z$ son elementos de $V$ aquí, no puntos. Intenta dibujar tres vectores en $\mathbb{R}^2$ y etiquetar los ángulos agudos/obtusos entre ellos para convencerse.
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En realidad, estoy menos convencido de (ii). Al dibujar la configuración en $\mathbb{R}^2$ muestra $\theta_{YZ}$ para ser un ángulo exterior del triángulo. Es posible que tengamos que utilizar $\hat{\theta}_{YZ} := \pi - \theta_{YZ}$ en lugar de $\theta_{YZ}$ para que (ii) se cumpla.