Definamos una serie$\{a(n)\}$ tal que$a(n)= a(n-1) + \frac{1}{a(n-1)}$

Question

Definamos una serie$\{a(n)\}$ tal que$a(n)= a(n-1) + \frac{1}{a(n-1)}$ y$a(1)=1$

Entonces pruebe que$a(75)$ pertenece al intervalo$(12,15)$

Tenga en cuenta que he utilizado$X(n)$ donde n está en la subdirección que indica el número de serie.

No puedo pensar .. lo que he hecho es que he añadido todos los términos como$\{ a(n)-a(1)\}$ que me dio:$a(n)-a(1)=\frac{1}{a(1)} +\frac{1}{a(2)}+\frac{1}{a(3)}......+\frac{1}{a(n-1)}$

He intentado la desigualdad am-gm, pero no es de ayuda.

Por favor ayuda .

Answer 1

Note primero que

$$a_n^2 = a_{n-1}^2 + 2 + \frac{1}{a_{n-1}^2} > a_{n-1}^2 + 2. \tag{*}$$

De forma recursiva la aplicación de esta desigualdad y usando el hecho de que $a_2 = 2$,

$$\forall n \geq 2, \qquad a_n^2 \geq 2n \tag{1}$$

Ahora conectar esta desigualdad de vuelta a $\text{(*)}$ $n \geq 3$ hemos

$$a_n^2 \leq a_{n-1}^2 + 2 + \frac{1}{2(n-1)}$$

con desigualdad estricta al $n \geq 3$. De forma recursiva la aplicación de esta desigualdad de los rendimientos

$$a_n^2 \leq a_2^2 + \sum_{k=2}^{n-1} \left(2 + \frac{1}{2k} \right) = 2n + \sum_{k=2}^{n-1} \frac{1}{2k} \etiqueta{2}$$

Al $n = 75$, obtenemos una cota inferior de a $\text{(1)}$:

$$12^2 < 150 \leq a_{75}^2$$

y un límite superior de $\text{(2)}$:

$$a_{75}^2 \leq 150 + \sum_{k=2}^{74} \frac{1}{2k} < 150 + \frac{\log 74}{2} < 150 + \frac{\log_2 128}{2} < 169 = 13^2.$$

Esto demuestra que $12 < a_{75} < 13$ y, por tanto, la afirmación de la siguiente manera.