¿Sea $(p_n)_{n \in \mathbb{N}}$ la secuencia de números primos, entonces el $\lim_{n \to \infty}\frac{p_{n+1}}{p_n} = 1$?

Question

El postulado de Bertrand es que $p_{n+1} < 2p_{n}$ pero ahora debe ser suficiente para concluir.

He hecho un programa en $R$, para ver que la convergencia de esta secuencia para los primeros números de primer #% de %#% y parece que convergen a 1. Es este verdadero y ¿cómo probarlo?

Answer 1

Sugerencia: Utilice el hecho de que $p_{n} /n\log n \to 1$ a través de teorema primero del número y su límite deseado consigue convertido a $$\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)\log(n+1)}{n\log n}$$ which you can easily prove to be equal to $1 $. Bounding the prime gap $ p_ {n+1}-p_ {n} $ es un problema difícil y realmente no es necesario aquí.

Answer 2

Sí, esto es cierto. La estimación actual del "estado del arte" para cebar las brechas es $p_ {n+1} - p_n = O(p_n^{0.525}) $$ (por Baker, Harman, Pintz), que garantiza que su límite es 1.

Answer 3

Aquí está una prueba diferente de ese hecho, que no hace una referencia al teorema primero del número suponiendo que el límite existe. Usaremos el hecho de que diverge la serie $$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{p_n}$ $, que tiene una bonita prueba elemental por Erdos. Ahora Supongamos que el límite es más $1$. Entonces $p_{n+1}/p_n>1+a$ $a>1$ y todos los $n\geq N$ $N$. Así $$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{p_n}\leq \sum_{n=1}^{N-1} \frac{1}{p_n} + \frac{1}{p_n}\sum_{i=0}^\infty \frac{1}{(1+a)^i}$ $ que converge.

Sería interesante dar una elemental (sin usar el teorema del número primo) prueba que el límite existe.

Answer 4

sí, suficientemente grande % primer $p,$el primer siguiente es no más que $$ p + p^{0.7} $ $ me deja obtener link y exponente correcto.

https://en.wikipedia.org/wiki/Prime_gap#Upper_bounds

Answer 5

Que $p_{n+1}=(1+x_n)p_n .$ del teorema primero del número que tenemos, como $n\to \infty,$ $$1+o(1)=\frac {\pi(p_{n+1})}{p_{n+1}/\log p_{n+1}}=\frac {n(\log p_n+\log (1+x_n))}{(1+x_n)p_n}$$ $% $$\text {and }\quad 1+o(1)=\frac {\pi (p_n)}{p_n/\log p_n}=\frac {(n-1)\log p_n}{p_n}.$

Tomando la relación de estas dos fórmulas, desde $x_n>0$ tenemos $$1+o(1)=\frac {n}{n-1}\cdot \frac {1+(\log (1+x_n))/\log p_n}{1+x_n}<$$ $$<\frac {n}{n-1}\cdot \frac {1+x_n/\log p_n}{1+x_n}=$$ $% $ $=\frac {n}{n-1}\left(1+\frac {x_n}{1+x_n}(-1+1/\log p_n)\right)=V(n).$

Ahora $x_n>0,$ $1/\log p_n\to 0$ $n\to \infty$. Así que si $k>0$ y $x_n>k$ para infinitamente muchos $k,$ tenemos $$\lim_{m\to \infty}\inf_{n\geq m}V(n) \leq 1-\frac{k}{1+k}<1$$ contrary to $ V(n)=1+o(1). $

Por lo tanto $\lim_{n\to \infty}x_n=0.$