Simple paseo aleatorio: dos preguntas

Question

Estoy teniendo dificultad en encontrar a la derecha recurso de revisión. Estoy preparando una entrevista en la probabilidad. Un tema en particular que me la lucha de la mayoría es Simple Paseo Aleatorio. Sólo quiero saber lo siguiente:

1) búsqueda de la primera $n$ que $S_n$ alcanza un umbral definido $\alpha$.

2) la probabilidad de que $S_n$ alcance $\alpha$ para cualquier valor dado de a $n$.

3) el número Esperado de pasos para llegar a un punto final.

Me pregunto donde puedo encontrar ejemplos específicamente para estos 3 tipos de pregunta?

Gracias.

\begin{array}{rrrcll} & x &\le& y &\le& f(x) & \\ \implies & f(x) &\le& f(y) &\le& f(f(x)) & \text{by monotonicity} \\ \implies & f(x) &\le& f(y) &\le& f(x) & \text{by idempotence} \\ \implies & f(x) &=& f(y) \end--

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Tal vez yo pueda tratar de responder a mis preguntas. Asumir simétrica. Suponemos que empezar desde 0.

1) la probabilidad de que el primer n de que $S_n$ alcanza el 10 es P($S_{10} =10) = 1/2^{10}$

2) para el valor dado de a $n$, queremos saber la probabilidad de que $S_n$ alcance $\alpha$. Esto es equivalente como pidiendo $\max(S_1,S_2,S_3,\dots, S_n) \geq \alpha$. Y el máximo de esta probabilidad fórmula está dada por aquí : http://www.math.uah.edu/stat/bernoulli/Walk.html

3) Esto es simplemente el jugador ruina del problema, y usted puede ver el tiempo de espera para un jugador a la ruina, que es $\alpha / (\alpha + \beta)$

Answer 1

Un libro útil podría ser probabilidad y procesos al azar 3 ª ed, Grimmett y Stirzaker. Las secciones 3.9 y 3.10 con material en paseos al azar Simple. Para las tres preguntas:

1) creo que se puede utilizar el teorema de momento golpea, p.79.

2) aquí, se podría utilizar teorema (10), p. 78.

3) la ecuación (9) en p. 74 da una fórmula para el número medio de pasos $D_k$, a partir de $k$ antes de llegar a una de las barreras absorbentes en $0$ y $N$, $p=1/2$, es $D_k = k(N-k)$.

Answer 2

He aquí algunas recomendaciones:

• Usted puede ser que desee para desplazarse a través de la Simple paseo aleatorio por Sven Erick Alm. Mira los ejemplos que hay y si son considerados para ser útil, me gustaría poner el foco en la primera referencia del papel, lo que se llama una mina de oro si a alguien le gusta obtener una visión más clara en simple paseo aleatorio.

  Estoy totalmente de acuerdo y recomendamos la lectura de los cerca de $30$ páginas de Capítulo III: las Fluctuaciones en la Moneda que se mueva y el paseo Aleatorio de la clásica Introducción a la Teoría de la Probabilidad y Sus Aplicaciones, Vol. Yo por W. Feller.

• Agradable, fácil-a-lea los ejemplos se presentan en esta MIT titulado el paseo Aleatorio.

Answer 3

Me parece que tus preguntas están relacionadas con unidimensional caminata al azar simple con barreras de absorción. Una aplicación popular es problema de la ruina de los jugadores.

Espero que serán útiles, para un inicio rápido los siguientes recursos:

1. Procesos de Markov para modelar estocástico por Oliver Ibe; Chapter-8
2. Elementos de paseo aleatorio y procesos de difusión por Oliver Ibe
3. Introducción a los modelos de probabilidad, por Sheldon M. Ross