Hay una función de $\,f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},\,$ que tiene un límite en cada punto, pero es continua en ningún lugar?
Respuesta
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fianchetto
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Respuesta. No.
En su lugar, el siguiente es cierto: Si una función $f:\mathbb R\to\mathbb R$ tiene un límite para cada $x\in\mathbb R$, $f$ es discontinua en un conjunto de puntos que en la mayoría de los contables.
Más específicamente, tenemos los siguientes hechos:
Hecho de A. Si $g(x)=\lim_{y\to x}f(y)$, $g$ es continua en todas partes.
Hecho de B. El conjunto $A=\{x: f(x)\ne g(x)\}$ es contable.
De Hecho, vamos a $x\in\mathbb R$$\varepsilon>0$, entonces existe un $\delta>0$, de tal manera que $$ 0<\lvert y-x\rvert<\delta\quad\Longrightarrow\quad g(x)-\varepsilon<f(y)<g(x)+\varepsilon, $$ pero la desigualdad anterior implica que para cada $z$,$|z-x|<\delta$, $$ g(x)-\varepsilon \le g(z)=\lim_{y\z}f(y) \le g(x)+\varepsilon, $$ y, por tanto, $g$ es continua.
De Hecho B, definir para $\varepsilon>0$ el conjunto $$A_\varepsilon=\{x: \lvert\,f(x)- g(x)\rvert>\varepsilon\}.$$ This set cannot have a limit point, for otherwise, $f$ would not have a limit there. Thus $A_\varepsilon$ es en la mayoría de los contables. El próximo observar que $$ A=\bigcup_{n\in\mathbb N}A_{1/n}, $$ y, por tanto,$A$, el conjunto de discontinuidades de $f$, es en la mayoría de los contables.
