Encontrar todas las funciones idempotentes aumento en $\mathbb{R}$

Question

Que $f: \Bbb R \to \Bbb R$ ser una función creciente tal que $f \circ f=f$, donde $\circ$ denota la composición de dos funciones. Encontrar $f$.

Answer 1

Suponiendo que te refieres estrictamente creciente:

$ f \circ f=f \Leftrightarrow f(f(x)) = f(x)$

Pero $f: \Bbb R \to \Bbb R$ es una función estrictamente creciente, que significa que es $"1-1"$ así. Así, tenemos:

$f(f(x)) = f(x) \Leftrightarrow f(x) = x$ que es una función creciente $\Bbb R \to \Bbb R$

Answer 2

Supongamos que la media de la no-estrictamente creciente, ya que las otras dos respuestas tienen el estricto caso de cosido.

Esto permite que el ejemplo de la constante de funciones, ya que después de todo ellos no son estrictamente monótona, y $f \circ g = f$, independientemente de $g$.

Permita otra cosa?

Bien, supongamos que estamos sólo constante a trozos. A continuación, necesitamos que cada uno de $f$'s valores constantes son un punto fijo de $f$, por idempotence, así que podemos imaginar la clase de funciones que son seccionalmente constante y que cada "pieza" cruza la línea de $f(x) = x$ en el gráfico.

En efecto, supongamos, sin pérdida de generalidad, que el $x \le f(x)$. A continuación, para todos los $y$ entre los dos, tenemos: \[\begin{array}{rrrcll} & x &\le& y &\le& f(x) & \\ \implies & f(x) &\le& f(y) &\le& f(f(x)) & \text{by monotonicity} \\ \implies & f(x) &\le& f(y) &\le& f(x) & \text{by idempotence} \\ \implies & f(x) &=& f(y) \end{array}\]

Por lo tanto, todos los $x$ $x \not= f(x)$ $f$ constante en el intervalo cerrado entre ellos, y así:

Cualquier $f$ es la función identidad, interrumpido por hasta countably muchos (abierto o cerrado o semi-abierto) los intervalos en los que está en cambio constante, teniendo un valor que cae dentro de ese intervalo.

(Countably muchos, porque no se puede interrumpir una función por una cantidad no numerable de intervalos disjuntos, ya que contienen cada uno una racional).

Tal vez más familiar, el ejemplo de que una cosa es la parte entera (o piso) de la función.

Answer 3

Porque es $f$ aumentarlo es también una inyección, tenemos $f(f(x)) = f(x)$ % todo $x$que implica $f(x) = x$ % todo $x$por lo tanto la única solución es la identidad y es fácil ver que la identidad es una solución.

Answer 4

Algunas soluciones :

• $x\mapsto x$
• $x\mapsto 4$
• $x\mapsto x$ si $x\in \mathbb{R}_+$, $x\mapsto -1$ de lo contrario,

A considerar algunos de los $a\in\mathbb{R}$. Tienes tres casos :

• $f(a)=a$
• $f(a)<a$
• $f(a)>a$

Si $f(a)>a$ a continuación, para todos $x \in [a;f(a)]$ : $f(a)\leq f(x)\leq f(f(a))$. Que es $f(a)\leq f(x)\leq f(a)$. Por lo tanto $f$ es una constante en $[a;f(a)]$. Mismo cuando $f(a)<a$ : $f$ es constante en $[f(a);a]$.

Como resultado cada punto de $a$ es tal que $f(a)=a$ o $a$ es en un intervalo de tiempo distinto de cero ancho donde $f$ es una constante.

$\mathbb{R}=A\cup \bigcup_{c\in C} f^{-1}(c)$

donde $A$ es el conjunto de puntos de $a$ como $f(a)=a$ (puntos fijos) y para todos $c\in C$, $f^{-1}(c)$ es un intervalo de tiempo distinto de cero de ancho. Desde estos intervalos son obviamente distintos, C es en la mayoría de los contables. Por último, el argumento anterior demuestra que $c\in f^{-1}(c)$.

Las soluciones son las funciones tales como:

• $f$ es la función identidad
• excepto en la unión de (en la mayoría) countably muchos distintos intervalos de $I$ con cero ancho donde $f$ es una constante en $I$, esta constante pertenecientes a $I$.