Solución perturbative a $x^3+x-1=0$

Question

Quiero calcular la solución real de $$ x^3+x-1=0 $$ por resumming una serie de perturbación. Para este fin, considero $$ x^3+\epsilon x-1=0, $$ $\epsilon$ ser un parámetro de perturbación. La solución real de la imperturbable ecuación (es decir, para$\epsilon=0$)$x=1$, por lo que yo se expandió $x$ en el poder formal de la serie $$ x(\epsilon)=1+\sum_{n=1}^\infty a_n \epsilon^n. $$ La sustitución de esta expansión en la ecuación de arriba y el ajuste a cero el coeficiente de $\epsilon^n$ orden por el orden en $n$ da lugar a las siguientes ecuaciones $$\begin{aligned} 3a_1+1&=0\\ 3a_2+3a_1^2+a_1&=0\\ 3a_3+6a_1a_2+a_2+a_1^3&=0\\ 3a_4+6a_1a_3+a_3+3a_2^2+3a_1^2a_2&=0 \end{aligned}$$ y así sucesivamente. Resolver de forma recursiva las $a_n$ tengo, para los primeros $n$, $$ a_0=1,\ a_1=-\frac{1}{3},\ a_2=0,\ a_3=\frac{1}{3^4},\ a_4=\frac{1}{3^5},\ a_5=0,\\ a_6=-\frac{4}{3^8},\ a_7=-\frac{5}{3^9},\ a_8=0,\ a_9=\frac{77}{3^{13}},\ a_{10}=\frac{104}{3^{14}},\ a_{11}=0,\\ a_{12}=-\frac{595}{3^{17}},\ a_{13}=-\frac{836}{3^{18}}, a_{14}=0,\ a_{15}=\frac{5083}{3^{21}},\ a_{16}=\frac{7315}{3^{22}},\ a_{17}=0. $$ De hecho, la configuración de $\epsilon=1$ $$ x(1)=0,682334\ldots $$ que es una muy buena aproximación a la (explícitamente conocida) raíz real de la ecuación original. Para justificar esta aproximación, me gustaría ahora para calcular el radio de convergencia de la serie de perturbaciones, y por lo tanto, yo estaba buscando una forma cerrada de los coeficientes $a_n$. Sin embargo, no podía encontrar el patrón general. También he intentado buscar en OEIS, pero fue en vano.

Sugerencias?

EDIT 1: más allá de estudio, por encima de los coeficientes presentan la siguiente estructura. Para $n>0$, nos vamos a denotar $$ a_{n}=-(-1)^{[n/3]}\frac{c_n}{3^{\alpha_n}}. $$ El exponente $\alpha_n$ está dado por $$ \alpha_{n}=\sum_{k=0}^\infty\left\lfloor\frac{n}{3^k}\right\rfloor $$ y el entero no negativo de los coeficientes $c_n$ satsfy $$ c_{3k-1}=0\qquad \text{para }k=1,2,\ldots\ . $$ Los primeros de ellos tienen el siguiente número primo factorizations: ($c_1=c_3=c_4=1)$ $$\begin{aligned} c_6&=2^2\\ c_7&=5\\ c_9&=11 \times 7\\ c_{10}&=13\times 2^3\\ c_{12}&=17\times7\times5\\ c_{13}&=19\times11\times2^{2}\\ c_{15}&=23\times17\times13\\ c_{16}&=19\times11\times7\times5 \end{aligned}$$ En particular, parece que el mismo número primo nunca aparece en dos días consecutivos de $c_n$. Podemos encontrar el patrón general?

EDIT 2: apliquemos el Lagrange inversión teorema, como sugiere Simplemente Hermoso Arte en los comentarios. Nuestra ecuación puede escribirse como $$ f(x)=\epsilon,\qquad \text{ donde }\qquad f(x)\equiv\frac{1-x^3}{x}, $$ y el imperturbable ecuación de lee $f(1)=0$; a continuación, $$\boxed{ x(\epsilon)= 1 + \sum_{n=1}^\infty \frac{g_n}{n!}\epsilon^n } $$ y los coeficientes están dados por $$\begin{aligned} g_n &= \lim_{x\to 1}\left(\frac{d}{dt}\right)^{n-1}\left(\frac{x-1}{f(x)}\right)^n\\ &=(-1)^n \left(\frac{d}{dx}\right)^{n-1} \left(\frac{x}{1+x+x^2}\right)^n_{x=1}\\ &=(-1)^n \left(\frac{d}{dt}\right)^{n-1} \left(\frac{t+1}{3+3t+t^2}\right)^n_{t=0}. \end{aligned}$$ Para calcular estos derivados, que nos permita ampliar las funciones que aparecen en el lado derecho de la siguiente manera utilizando la serie geométrica de expansión para las pequeñas $t$ y el binomio de Newton fórmula: $$\begin{aligned} \left(\frac{t+1}{3+3t+t^2}\right)^n &=\frac{(t+1)^n}{3^n}\frac{1}{\left[1+\left(t+\dfrac{t^2}{3}\right)\right]^n}\\ &=\frac{(t+1)^n}{3^n}\sum_{k=0}^\infty (-1)^k \binom{n-1+k}{k} \left(t+\frac{t^2}{3}\right)^k\\ &=\sum_{k=0}^\infty \sum_{i=0}^k \sum_{j=0}^n \frac{(-1)^k}{3^{n+i}}\binom{n+k-1}{k}\binom{k}{i}\binom{n}{j}t^{k+i+j}. \end{aligned}$$ Ahora, la diferenciación es fácil: $$ \left(\frac{d}{dt}\right)^{n-1}t^{k+i+j}\bigg|_{t=0}=\frac{(k+i+j)!}{(k+i+j-n+1)!}\delta_{k+i+j,n-1}. $$ Podemos utilizar la delta de Kronecker para deshacerse de la suma de más de $j$: $j=n-1-i-k$ mientras que este valor se encuentra dentro de la gama de suma $$ 0\le n-1-i-k \le n $$ que a su vez impone $i\le n-1-k$$k\le n-1$. Después de algunas simplificaciones algebraicas, $$\boxed{ g_n=\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^{n-k}(n-1+k)!\sum_{i=0}^{\min(k,n-1-k)}\binom{n}{1+k+i}\frac{1}{3^{n+i}i!(k-i)!}. } $$ Es allí una manera de calcular el radio de convergencia de las anteriores de la serie? Una estimación aproximada es dado por conectar $k,i\mapsto n/2$ radio $\rho=2$, pero seguro que más refinado análisis es posible. Numérico de las evaluaciones de $1/\lim |g_n/n!|^{1/n}$ sugieren que la convergencia de la radio debe ser estrictamente menor que $2$.

Answer 1

El radio de convergencia es el más grande de la radio para la cual existe una holomorphic continuación de su función en un disco centrado en $0$.

Aquí, la raíz varía holomorphically con $\epsilon$ mientras que las raíces de la estancia distintos el uno del otro. Esto sucede cuando el discriminante, $-27-4\epsilon^3$, se desvanece.

No se puede definir las tres raíces, simultáneamente, como un holomorphic función de $\epsilon$ alrededor de cualquier barrio de los tres malos valores de $\epsilon$, porque cualquier pequeño bucle alrededor de ellos interruptores de dos de ellos.

Como para la rama en la que está interesado en, el verdadero punto crítico interruptores de las otras dos raíces, por lo que no veo un problema aquí. Sin embargo, si usted encuentra algo que ocurre alrededor de los otros dos puntos críticos.

Por lo tanto, su radio de convergencia es $\rho = 3/2^{2/3} \approx 1.889882$.

Si usted puede vinculado a los valores de $x$ sobre el círculo de este radio con un $B>0$ (no debe ser muy difícil de demostrar, por ejemplo, que $|x| \le 2$), la integral de Cauchy fórmulas darle un explícito vinculado $|a_n| \le B \rho^{-n}$ , lo que le permite obtener una explícita exponencial obligado en la convergencia de $x(1)$.

Answer 2

El Lagrange inversión de la fórmula aplicada a la perturbación problema $$ \epsilon x^3+x-1=0 $$ ofrece las siguientes alternativas de resultado. Aquí $$ f(x)=\epsilon,\qquad\text{ donde }\qquad f(x)\equiv\frac{1-x}{x^3}. $$ El imperturbable ecuación es $f(1)=0$, por lo tanto $$ x(\epsilon)=1+\sum_{n=0}^\infty \frac{g_n}{n!}\epsilon^n, $$ con $$\begin{aligned} g_n &=\lim_{x\to1}\left(\frac{d}{dx}\right)^{n-1}\left(\frac{x-1}{f(x)}\right)^n\\ &=(-1)^n\left(\frac{d}{dx}\right)^{n-1}x^{3n}\big|_{x=1}=\frac{(-1)^n}{2n+1}\frac{(3n)!}{(2n)!}. \end{aligned}$$ Finalmente, $$ x(\epsilon)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1}\binom{3n}{n}\epsilon^n. $$ Usando la aproximación de Stirling, para un gran $n$ el comportamiento de la $n$th coeficiente es $$ \frac{(-1)^n\sqrt3}{2\sqrt{\pi n}(2n+1)}\frac{3^{3n}}{2^{2n}} $$ de modo que el radio de convergencia es $$ \frac{2^2}{3^3}. $$ Este número es menor que $1$, lo que significa que como $\epsilon\to1$, la perturbación de la serie es divergente. Pero, dado que es la alternancia y el valor absoluto de los coeficientes satisface la Carleman enlazado $n! 3^n$, la correspondiente secuencia de Padé se garantiza la convergencia a la respuesta correcta.

Consideraciones similares se aplican a $$ x^3+x-\epsilon=0 $$ donde $$ f(x)=\epsilon,\qquad f(x)\equiv x(x^2+1) $$ y $f(0)=0$. Por lo tanto, $$ x(\epsilon)=\sum_{n=1}^\infty \frac{g_n}{n!}\epsilon^n $$ con $$\begin{aligned} g_n &=\lim_{x\to 0}\left(\frac{d}{dx}\right)^{n-1}\left(\frac{x}{x(1+x^2)}\right)^n\\ &=\left(\frac{d}{dx}\right)^{n-1}\sum_{l=0}^\infty\binom{n-1+l}{l}(-1)^l x^{2l}\bigg|_{x=0}\\ &=\begin{cases} 0 &\text{if } n-1\text{ is odd}\\ (-1)^k\frac{(3k)!}{k!} &\text{if }n-1=2k\text{ for }k=0,1,2\ldots\ . \end{casos} \end{aligned}$$ Para resumir $$ x(\epsilon)=\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{2k+1}\binom{3k}{k}\epsilon^{2k+1}. $$