Es cierto para todos los grupos finitos que cada subgrupo tiene el fin de dividir el grupo principal. Este es el llamado del teorema de Lagrange. El recíproco no es cierto en todos los grupos finitos.
Un grupo finito de tamaño $n$ que tiene subgrupos de tamaño $d$ todos los $d \mid n$ es llamado un grupo de Lagrange o CLT grupo ("opuesto del Teorema de Lagrange"). Todavía no están completamente caracterizados, pero se sabe que son todos solucionable.
Sin embargo, dos resultados generales nos dicen algunas cosas acerca de los subgrupos que tienen ciertos tamaños:
- Cauchy teorema nos dice que siempre que $p \mid n$, hay un subgrupo de tamaño $p$;
- Sylow de teoremas nos dicen que, siempre que $p^i \mid n$ es el más alto poder de $p$ dividiendo $n$, entonces no es un subgrupo de tamaño $p^i$.
Todos finito abelian grupos de Lagrange (incluyendo $\mathbb{Z}_n$ todos los $n$, donde la prueba es simple: sólo tienes que tomar el subgrupo generado por a $\frac{n}{d}$, que tiene orden de $d$).
Relacionados SE pregunta que contiene mucho más de detalle: clasificación Completa de los grupos para los que conversar de Lagrange del Teorema sostiene.
Me gustaría llamar la atención a Ethan Bolker el comentario sobre tu pregunta, que de todo corazón me respalda:
+1 por la observación. Si usted continúe con el pago de este tipo de atención a los teoremas (y, en particular, los ejemplos) en su álgebra abstracta supuesto, usted puede encontrar usted mismo adivinar/anticipando los teoremas que veremos en las próximas semanas. En particular, pronto va a llegar a la del teorema de Lagrange. como algunas de las respuestas señalan. Usted debe estar contento, no se desanime, cuando las respuestas como las que se refieren a cosas que aún no han estudiado.
