Cierre bajo la multiplicación de la matriz de matrices de 2 x 2

Question

¿Es necesario demostrar que este conjunto es cerrado bajo multiplicación de la matriz, existe una mejor manera que hacerlo a través de una tabla de Cayley? O más bien supongo que hay y apenas no puedo conseguir mi cabeza alrededor de él. Cualquier ayuda sería mucho apreció.

$\begin{gather*} M= \left\{ \begin{bmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0 & -1\\ -1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -1 & 0\\ 0 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} -1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix} \right\}\\ \end{gather*}$

Answer 1

Llame matrices de esta $\begin{pmatrix}*&0\\0&*\end{pmatrix}$ formulario de "diagonal" y matrices de esta $\begin{pmatrix}0&*\\*&0\end{pmatrix}$ formulario de "inclinación diagonal". Primero probar que el producto de la diagonal de las matrices es diagonal, el producto de la diagonal y el sesgo de la diagonal es sesgar la diagonal, el producto de sesgar diagonal y diagonal es sesgar la diagonal y que el producto de sesgar la diagonal y el sesgo de la diagonal es la diagonal.

Demostrar que cada entrada en las matrices resultantes siempre va a ser $\pm 1$. Por último ten en cuenta que cada matriz es diagonal o el sesgo de la diagonal y tiene entradas en $\{\pm 1\}$ es una de las ocho.

Answer 2

Las matrices $A = \begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}$ $B = \begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}$ satisfacer las identidades $BB=I$, $AA = I$, $AB=-BA.$ Considerar el grupo de todos los posibles productos de matriz de $A$s y $B$s, considere la posibilidad de cualquier elemento de la misma. El último de identidad le permite reordenar cualquier multiplicación de la matriz de estos dos en la forma $\pm A\dots AB\dots B$ y las dos primeras identidades permiten eliminar as y Bs de dos-en-un-tiempo, de manera que el grupo tiene más de 8 elementos, $$\{I, A, B, AB, -I, -A, -B, -AB\}.$$ Por la inspección, estos son los 8 que tiene y ninguno de ellos está secretamente igual a otro de ellos, de manera que el grupo tiene orden de 8.

Answer 3

Aquí le damos una segunda manera de hacerlo que puede ser más rápida. Definir $G$ el grupo de las matrices inversible de #% con #% de % que fijan el conjunto de $2\times 2$. Es fácil de probar que esto es un grupo y también es fácil comprobar que contiene precisamente los ocho matrices.

Answer 4

Un primer paso es determinar el orden de las $8$ elementos. Podemos ver fácilmente que no todas las matrices que conmutan, por lo que tenemos dos distintas que no abelian grupos de orden $8$, lo que puede ser representado por estas matrices, es decir, el grupo diedro $D_4$ o el grupo de cuaterniones $Q_8$. Ahora la información de la orden de los elementos es útil, porque vemos que representa el diedro grupo - que es cerrado bajo la multiplicación. También, aquí vemos que esto es correcto.

Answer 5

Una forma sería demostrar un isomorfismo del grupo entre su equipo y un grupo donde sabes la operación está cerrado.

Si estás familiarizado con el grupo diédrico de orden 8, podría ser un buen lugar para empezar. Nota entonces que como el grupo diedro es generado por las operaciones básicas de rotaciones y saltos, así que sería suficiente mostrar que el isomorfismo de grupo funciona para esos dos elementos asignados a $R$ y $F$.