$$\frac{4}{abcd}\geq\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a}$$
Dada: $a+b+c+d=4$ y $a$ , $b$ , $c$ abd $d$ son positivos.
¿Cómo demostrar la desigualdad anterior utilizando la desigualdad de la media geométrica aritmética?
He intentado lo siguiente pero, me estoy atascando después del último paso.
Dejemos que $\{a,b,c,d\}=\{x,y,z,t\}$ , donde $x\geq y\geq z\geq t$ .
Por lo tanto, mediante el reordenamiento y el AM-GM obtenemos: $$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a}=\frac{1}{abcd}(a^2cd+b^2da+c^2ab+d^2bc)=$$ $$=\frac{1}{abcd}(a\cdot acd+b\cdot bda+c\cdot cab+d\cdot dbc)\leq$$ $$\leq\frac{1}{abcd}(x\cdot xyz+y\cdot xyt+z\cdot xzt+t\cdot yzt)=$$ $$=\frac{1}{abcd}(x^2yz+y^2xt+z^2xt+t^2yz)=\frac{1}{abcd}(xy+zt)(xz+yt)\leq$$ $$\leq\frac{1}{abcd}\left(\frac{xy+zt+xz+yt}{2}\right)^2=$$ $$=\frac{1}{4abcd}\left((x+t)(y+z)\right)^2\leq\frac{1}{4abcd}\left(\frac{x+y+z+t}{2}\right)^4=\frac{4}{abcd}.$$ ¡Hecho!
Creo que este problema fue diseñado por usted porque, el documento en el que lo encontré tiene su nombre adjunto al lado del problema. Gracias por la solución.
@Mrigank Shekhar Pathak ¡Sí, tienes razón! Es mi problema y mi solución, pero una idea con $x\geq y\geq z\geq t$ no es mío.
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Son $a,b,c,d$ ¿todo positivo?
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@arthur He añadido todo lo que he probado.
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@vrugtehagel sí, todos son positivos.