Espacio de Fock, en mecánica cuántica: ¿Cómo podemos tener suma directa de espacios de diferentes dimensiones?

Question

En la física trabajamos con el espacio de Fock cuando tenemos que tratar con un undefinite número de partículas.

Pero hay algo que me malinterprete : ¿cómo podemos tener una suma directa de espacios que no son de la misma dimensión ?

De hecho, tenemos :

$$ F=\bigoplus_{n=0}^{\infty}S_\nu H^{\otimes n} $$

Cada espacio en la suma directa no la misma dimensión que la otra.

Para hacer la pregunta más simple permite tomar :

$$A=\mathbb{R} \oplus \mathbb{R}^2$$

Yo no entiendo cómo un espacio que se define como necesitamos una ley de adición entre el$\mathbb{R}$$\mathbb{R}^2$.

Deje $z$$A$, tendríamos $z=x+(y,z)$, pero ¿qué significa ese símbolo + significa ?

Acabo de conocimientos básicos de álgebra lineal, así de simple respuestas sería bueno !

Answer 1

Voy a responder a su pregunta sencilla sobre $\mathbb{R} \oplus \mathbb{R}^2 $.

Ese espacio es el conjunto de pares ordenados $(x,v)$ donde $x \in \mathbb{R}$ $v$ es en sí mismo un par ordenado $(y,z) \in \mathbb{R}^2$ . Nunca agregue$x$$v$, a pesar de que usted puede pensar $$ (x, y(y,z)) = (x, (0,0)) + (0, (y,z)). $$ La adición se lleva a cabo en cada componente por separado, de la misma forma que lo hace para $n$-tuplas de números.

Y, por supuesto, $\mathbb{R} \oplus \mathbb{R}^2 $ es, naturalmente, identificado con $\mathbb{R}^3 $.

El $\oplus$ notación es histórico, y en este contexto, por desgracia, pero es comprensible confuso. Que puede de hecho ser lo que los rompecabezas de la OP. Las leyes de los exponentes sugieren que debemos de utilizar un producto de aquí, no una suma. La adición sólo tiene sentido cuando pensamos en $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}^2 $ como los subespacios $\{(x,0,0)\}$$\{(0,y,z)\}$$\mathbb{R}^3 $. Que es, precisamente, la distinción entre lo interno y lo externo directo sumas @HenrySwanson explica en su respuesta.

Answer 2

Cuando alguien dice "suma directa", que significa una de dos cosas, y normalmente es claro en el contexto. En particular, la suma directa interna requiere de un padre de espacio, y la externa no.

Interna: Vamos a $V$ ser un espacio vectorial, y $U$ $W$ ser subespacios de $V$. Decimos que $V$ es un (interna) a la suma directa de $U$ $W$ si $U \cap W$ es trivial y $U + W = V$. Por ejemplo, $V = \Bbb R^3$, $U$ es atravesado por $(1, 0, 0)$ $W$ es distribuido por $(0, 1, 0)$$(1, 1, 1)$.

Externo: Vamos a $U$ $W$ ser arbitraria de espacios vectoriales. A continuación,$U \oplus W$, llama al (externo) suma directa de $U$$W$, es el espacio de los pares de $\{ (u, w) \mid u \in U, w \in W \}$, donde además se definen las componentes.

Estos dos conceptos están relacionados de la siguiente manera: vamos a $V$ ser un espacio vectorial, y $U$ $W$ ser subespacios. A continuación, $V$ el (interna) a la suma directa de $U$ $W$ fib $V$ es isomorfo a (externo) suma directa de $U$ $W$ (en una forma de respetar la inclusión de $U, W$ a $V$).