¿Por qué llamamos una serie de Fourier una serie de exponentes complejos?

Question

La fórmula de Euler es $$e^{{ix}}=\cos x+i\sin x$$

Hace poco me enteré de que una función periódica se puede descomponer en una serie infinita de los cosenos y senos. Sin embargo, en las fórmulas que he visto, se trataba de una simple suma, sin que el número imaginario, es decir, $$\sum_{i=0}^{\infty} a_i\cdot \cos(x)+b_i\sin(x)$$

No hay ningún número imaginario aquí, a diferencia de la fórmula de Euler, donde hay un número imaginario en el lado derecho.

Entonces, ¿cómo podemos justificar el uso de exponenciales complejas en serie de fourier, dado que esto añade un número imaginario a una función que es un valor real?

Answer 1

Si los coeficientes de satisfacer una simple relación, la serie va a tener un valor real: desde $$ \cos{x} = \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}, \qquad \sin{x} = \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} $$ (esto viene de dos instancias de la fórmula de Euler, por ejemplo), tenemos $$ a_n \cos{nx}+b_n\sin{nx} = a_n \frac{e^{inx}+e^{-inx}}{2} + b_n \frac{e^{inx}-e^{-inx}}{2i} = \frac{a_n-ib_n}{2} e^{inx} + \frac{a_n+ib_n}{2} e^{-inx}. $$ En particular, uno de los coeficientes es el complejo conjugado de la otra. La inversión de este, si tenemos una serie de Fourier $$ \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{inx}, $$ la serie es real si, y sólo si $c_{-n} = c_n^*$ (y nos encontramos con $a_n = c_n+c_{-n} $, $ b_n = i(c_n-c_{-n}) $ ).

¿Por qué hemos de escribir como exponenciales complejas? En primer lugar, $\int_{-\pi}^{\pi} e^{inx} f(x) \, dx$ es a menudo más fácil de calcular que el trigonométricas formas, en segundo lugar, sólo tenemos que hacer una integral en lugar de (a menudo) tres: uno para el término constante, uno para el coseno parte, y uno para el sine parte, y en tercer lugar, muchas otras fórmulas son más sencillas de lo escrito en los términos de la $c_n$: por ejemplo, Parseval/Plancherel es $$ \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \lvert f(x) \rvert^2 \, dx = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \lvert c_n \rvert^2 $$ en lugar de $$ \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \lvert f(x) \rvert^2 \, dx = \frac{a_0^2}{4} +\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty} a_n^2 + b_n^2 $$

Eso no quiere decir que la forma real no tiene sus usos: si queremos mantener todo lo real, la usamos (especialmente en aplicaciones como la solución de la ecuación de Laplace, por ejemplo), o si la función es claramente pares o impares, sólo tenemos que calcular un conjunto de coeficientes, y el trabajo es efectivamente reducido a la mitad.

Answer 2

El de expansión de la serie de Fourier de una función periódica se puede expresar en forma trigonométrica como

$$f(x) = \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} a_n\cos(nx) + b_n\sin(nx),$$

y podemos encontrar los coeficientes de la siguiente manera: $$ \int_{-\pi}^{\pi}f(x) = \int_{-\pi}^{\pi}\frac{a_0}{2} dx + \sum_{n=1}^{\infty}a_n \int_{-\pi}^{\pi}\cos(nx) dx +\sum_{n=1}^{\infty}b_n \int_{-\pi}^{\pi}\sin(nx) dx $$

donde$\int_{-\pi}^{\pi}\cos(nx) = 0$$\int_{-\pi}^{\pi}\sin(nx) = 0$. A continuación, $$ \implies a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx.$$

Aquí, también podemos encontrar la fórmula para $a_n$ $b_n$ a través de cálculo simple como

$$ \int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(mx) = \frac{a_0}{2}\int_{-\pi}^{\pi}\cos(mx) dx + \sum_{n=1}^{\infty}a_n \int_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)\cos(mx) dx \\+\sum_{n=1}^{\infty}b_n \int_{-\pi}^{\pi}\sin(nx)\cos(mx) dx $$

donde $$ \int_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)\cos(mx) dx = \begin{cases} \pi & n = m \\ 0 & n \neq m \end{casos}, $$

$$ \int_{-\pi}^{\pi}\cos(mx) dx = \frac{1}{m}\sin{mx}|_{-\pi}^{\pi} = 0,$$ $$ \int_{-\pi}^{\pi}\sin(nx)\cos(mx) dx = 0$$ observe que aquí, $\sin(nx)\cos(mx)$, es una función impar. Entonces tenemos:

$$\implies a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)dx.$$ También, el mismo procedimiento para $b_n$ conduce a: $$\implies b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)dx.$$

Ahora, para la serie de Fourier de conversión de forma Real a la compleja forma que el uso de Euler de la fórmula tenemos:

$$f(x) = \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} a_n [\frac{e^{inx}+e^{-inx}}{2}]+ b_n[\frac{e^{inx}-e^{-inx}}{2i}],$$

entonces tenemos

$$f(x) = \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2} [a_n -ib_n]e^{inx} + \frac{1}{2} [a_n +ib_n]e^{-inx},$$

y, finalmente, tenemos:

$$f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{inx} ,$$

donde:

$$ c_n = \begin{cases} \frac{1}{2} [a_n -ib_n] & n \geq 0 \\ \frac{1}{2} [a_{|n|} +ib_{|n|}] & n \leq 0 \\ \frac{1}{2} a_0 & n = 0 \end{casos}, $$

en el que los coeficientes de $c_n$ se llama el complejo de los coeficientes de Fourier se puede escribir en una forma cerrada como

$$\implies c_n = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-inx}dx.$$

Como se muestra, el número imaginario que usted ha mencionado es de alguna manera oculta en el interior de la "$\cos$" y "$\sin$" que sale por el uso de su expansión en términos de exponenciales complejas. Además, observe que la diferencia de la gama de la suma de dos de fórmula!

Para una base ortonormales $\;\{\varphi_i\}\;$:

$$\langle f(x)\,,\,f(x)\rangle=\frac1{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}|f(x)|^2dx=\sum_{m=-\infty}^\infty\sum_{k=-\infty}^\infty c_m\overline{c_k}\langle \varphi_m\,,\,\varphi_k\rangle=\sum_{m=-\infty}^\infty|c_m|^2\\ \quad =\frac{a_0^2}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} (a_n^2 +b_n^2)$$

donde a partir de la orthonormality condiciones

$$\langle \varphi_m\,,\,\varphi_k\rangle=\begin{cases}1&,\;\;\;m=k\\{}\\0&,\;\;\;m\neq k\end{cases}.$$

este resultado se llama Parseval del teorema de la energía (que se representa basado en los coeficientes de Fourier de dos formas).

Además, sobre el uso, basado en el problema que usted puede utilizar la forma adecuada para tener más representación significativa con mayor facilidad en los cálculos. Por ejemplo, la exponencial de la representación tiene la misma información como las otras formas, sin embargo, es preferible debido a su menor y más sencillo de los cálculos. Por otro lado, trigonométricas de la forma, puede ser fácilmente visualizado en términos de suma de funciones seno y coseno.

Como trigonométricas de la forma, la serie de Fourier de una función par sólo consta de coseno de términos y una función impar sólo consta de sine términos.

Desde el procesamiento de la señal de punto de vista, por la serie de Fourier de la representación, es posible escribir una función periódica en términos de seno y coseno la función de baja a alta frecuencia; aquí, $x = 2\pi \text{f}_0$ se compone de la frecuencia fundamental, $\text{f}_0$, lo que la señal puede ser escrito en términos de todos sus componentes de frecuencia. Una figura de la Wiki se muestra a continuación. Como es evidente a partir de la figura de abajo, la baja frecuencia de los componentes de la parte más esencial de la original periódico de onda cuadrada; como el $n$ aumenta, significa que mediante la adición de altas frecuencias, la serie de Fourier $\text{f}$ vuelve más y más similar a la función original, aquí $\text{F}$. Además, para llegar a la forma cuadrada, tenemos que añadir infinitos términos tienen los cambios repentinos o tal instante discontinuidades.

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