¿Cuánto trabajo puede hacer una fuerza de un resorte? (¿Por qué son dos métodos mal?)

Question

Esta fue una pregunta de mi amigo encontró en un libro.

Un bloque unido a un resorte de jalado por una fuerza horizontal constante se mantiene en una suave superficie horizontal. Inicialmente el resorte está en su estado natural. A continuación, el máximo trabajo que la fuerza aplicada F puede hacer es:

(a) $F^2/k$

(b) $2F^2/k$

(c) $4F^2/k$

(d) $F^2/2k$

Mi amigo pensó que la respuesta es (a) dado que el desplazamiento máximo es de$x=F/k$$W=Fx=F^2/k$. Pero él vio que el libro la respuesta es diferente y él le hizo esta pregunta a mí.

Yo en un principio pensé que la respuesta va a ser (una), pero luego me di cuenta de que esta situación es algo similar a una carga del condensador. La energía final de la primavera es en realidad $\frac12kx^2=F^2/2k$. Así que probablemente la respuesta es (d)? Pero el trabajo a realizar es todavía (a)? Pero el libro dice que ninguno de los dos. Es (b). Esta es la lógica en el libro:

Método 1: en el libro:
$$Fx=\frac12kx^2$$
$$x=2F/k$$
$$W=\frac12kx^2=2F^2/k$$
(ya que el libro es un objetivo de las preguntas del libro no tienen explicaciones detalladas)

Lo que está mal en los siguientes métodos?

Método 2: mediante el cálculo de la duración máxima de desplazamiento
$$x=F/k$$
$$W=Fx=F^2/k.$$

Método 3: mediante el cálculo de la energía final
$$x=F/k$$
$$\frac12kx^2=F^2/2k$$

PS: ambos sabemos cálculo así que no dudes en utilizarlo en las respuestas.

Answer 1

Qué ocurre con el método 2 y método 3 $$x_{max} = F/k$ $ no es válido! Cuando se aplica fuerza F sobre el cuerpo también se están impartiendo con energía cinética. $x = F/k$ es el desplazamiento en el cual la fuerza neta experimentada por él llega a ser cero, pero no se detiene allí. Enciende hasta que su velocidad va a cero debido a la fuerza de la primavera.

En ese punto toda su energía está en la forma de la energía potencial del resorte tal como se indica en la solución.

Answer 2

He tratado de darle el fondo de la solución dada en el libro de texto.

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La energía almacenada o liberado es dado por $\int \vec f \cdot d \vec x$ y el más importante a destacar es que la fuerza de $\vec f$ varía con la extensión de $\vec x$.
Esta relación se suele escribir como $\vec f = - k \vec x$ con la fuerza de $\vec f$ la fuerza ejercida por el resorte sobre un objeto externo, por lo que la relación de un (externo) la fuerza que actúa sobre el resorte tiene un signo positivo.

De modo que la energía almacenada/publicado es $\displaystyle \int_0^x kx \,dx = \frac 12 kx^2$

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Vamos a la estática de la extensión de la primavera, cuando una fuerza de $F$ se aplica la se $x_o$ $F=kx_o$ y la energía almacenada en el resorte es $\frac 12 kx^2_o$.

La situación en la que el problema es diferente, ya que una constante de la fuerza de $F$ se aplica en el trabajo realizado por la fuerza en movimiento con la estática de la extensión de la posición es $Fx_o$.
En el movimiento de la masa para que estática posición de extensión de la fuerza de $F$ también se ha acelerado de la masa.
Por lo que la masa también tiene energía cinética que deben ser tomados en cuenta si uno tiene que encontrar el trabajo total realizado por la fuerza de $F$ en términos de$k$$F$.

Ahora la energía cinética debe ser el trabajo realizado por la fuerza $Fx_o= kx^2_o$ menos de la energía almacenada en el resorte $\frac 12 kx^2_o$.
Así que la energía cinética es $\frac 12 kx^2_o$.

Tenga en cuenta que aunque la fuerza neta sobre la masa en la estática de la extensión de la posición cero, la masa se mueve y por lo rebasa la estática de la posición de equilibrio y la fuerza de $F$ sigue para hacer el trabajo como la dirección de la fuerza aplicada y su desplazamiento se sigue en la misma dirección.

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Vamos a la prórroga cuando la masa por último deja de ser $x_{\max}$.
Esto sucede cuando el trabajo realizado por la fuerza es todo almacena como energía potencial en el resorte $FX=\frac12kx_{\max}^2$ y esta es la ecuación dada en el libro de texto de la solución.

El uso de $F=kx_o$ da $x_{\max}= 2x_o$.

De modo que la máxima de trabajo realizado por la fuerza $F$ $F\,2x_o=\dfrac{2F^2}{k}$

Answer 3

Mientras que las otras respuestas ya podrían mostrar por qué los libros de la solución es correcta, aquí otro punto de vista que podrían ayudar:

¿Cuál es la fuerza neta sobre el objeto?

$$F_{net} = F + F_{spring}$$ $$= F - kx$$

Esta es la fórmula que da la posición de equilibrio de la $x_0=F/k$, así que vamos a cambiar nuestro sistema de coordenadas un poco, así que $x'_0=0$, es decir,$x' = x - F/k$.

Lo que ahora es la fuerza neta en nuestro nuevo sistema de coordenadas, donde el equilibrio está en 0? $$F_{net} = F - kx$$ $$= F - k(x' + F/k)$$ $$= -kx'$$

Oh, espera, en este sistema de coordenadas de la fuerza sobre el objeto es proporcional a su desplazamiento, que es un oscilador armónico!
La posición de partida es el máximo desplazamiento en una dirección y, como sabemos, a partir de osciladores armónicos, el desplazamiento máximo en la otra dirección es la igualdad en la distancia, por lo que el rango completo de este objeto columpios es $x_{max}=2 F/k$.

Junto con la fórmula habitual de $W=Fx_{max}$ usted obtiene el mismo resultado que en el libro. Usted puede también elegir de conservación de la energía, ya que toda la energía en el desplazamiento máximo es almacenada en el resorte y el objeto no se mueve, que es la tercera línea, citó del libro, $W=\frac{1}{2}kx_{max}^2$. Este es por cierto. también la energía del oscilador armónico.

O en resumen: los métodos de trabajo si elige la correcta max. los desplazamientos.