¿Debe un grupo no simple tener un subgrupo Sylow normal?

Question

En clase, una forma que nos enseñan de demostrar que un grupo no es simple es exhibir un subgrupo Sylow normal.

Me pregunto si es cierto lo contrario, es decir, si un grupo no es simple, ¿debe tener un subgrupo Sylow normal? Parece que no puedo demostrar que sea así, pero tampoco he sido capaz de dar con un contraejemplo.

Answer 1

Como contraejemplo, consideremos $S_n$ , $n\geq 5$ . No $p$ -es normal, ya que el único subgrupo normal propio no trivial es el grupo alterno.

Answer 2

Contraejemplo: si $S$ es un grupo simple no abeliano, entonces ciertamente $S \times S$ no es simple y no tiene subgrupos Sylow normales.