Integral del producto de dos funciones en términos de la integral de la otra función

Question

El problema:

Dejemos que $f$ y $g$ sean dos funciones continuas sobre $[ a,b ]$ y asumir $g$ es positivo. Demostrar que $$\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx=f(\xi )\int_{a}^{b}g(x)dx$$ para algunos $\xi$ en $[ a,b ]$ .

Esta es mi solución:

Desde $f(x)$ y $g(x)$ son continuos, entonces $f(x) g(x)$ es continua. Utilizando el teorema del valor medio, existe un $\xi$ en $[ a,b ]$ tal que $\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx= f(\xi)g(\xi) (b-a) $ y utilizando de nuevo el teorema del valor medio, podemos obtener $g(\xi) (b-a)=\int_{a}^{b}g(x)dx$ que produce la igualdad requerida.

¿Es correcta mi prueba? Si no es así, por favor, indíqueme cómo corregirla.

Answer 1

Consejos :

1. Para $y \in [a,b]$ , dejemos que $\newcommand{\rd}{\,\mathrm{d}}h(y) = \int_a^b (f(y)-f(x))g(x) \rd x$ . Entonces $h$ es continua en $[a,b]$ desde $f$ es continua.
2. El intervalo $[a,b]$ es compacto y como $f$ es continua, entonces $f$ alcanza tanto un mínimo $m$ y un máximo de $M$ en $[a,b]$ .
3. ¿Qué sabes sobre el valor de $\int_a^b (M-f(x))g(x) \rd x$ ? ¿Qué tal si $\int_a^b (m-f(x))g(x) \rd x$ ?
4. Ahora, aplica un teorema muy famoso con las siglas IVT a $h(y)$ para concluir.

Answer 2

En realidad, este teorema se llama el primer teorema del valor medio de la integración. Hay una demostración clara en Wiki :

Answer 3

Las integrales de ambos lados del problema están bien definidas ya que $f$ y $g$ son continuos, y $g$ es positivo por lo que $ \displaystyle \int^b_a g(x) dx > 0.$ Por lo tanto, existe alguna constante $K$ tal que $$ \int^b_a f(x) g(x) dx = K\int^b_a g(x) dx . $$

Si $\displaystyle K > \max_{x\in [a,b]} f(x) $ entonces el lado izquierdo es más pequeño que el derecho.

Si $\displaystyle K < \min_{x\in [a,b]} f(x) $ entonces el lado izquierdo es mayor que el derecho.

Así, $ K \in f( [a,b] ).$