Valor esperado de la variable aleatoria a otra variable aleatoria

Question

Si $X$ y $Y$ son variables aleatorias continuas uniformemente distribuidas sobre $[0,1]$, hallazgo $E(X^Y)$.

Mi primer pensamiento fue que $E(X^Y) = E(X)^{E(Y)}$, pero a través de simulación encontré que no era el caso.

Luego probé usando un integral doble de $0$ $1$ con respecto a los $x$ y $y$, pero lo resultados en un plazo de $1/\log$ que no se puede evaluar en $0$ o $1$.

No estoy seguro de lo que tratar el siguiente

Answer 1

Suponiendo que #% el %#% y $X$ son independientes me sale: $$ E [X ^ Y] = \int_0^1\int_0^1 x ^ y\, \mathrm dx\, \mathrm dy = \int_0^1\frac {1} {y + 1} \,\mathrm dy=\log(2). $$