ensayar

Question

Si $a_i$ $b_i$ son positivas, y $b= \sum ^n_{i=1} b_i$,$a= \sum ^n_{i=1} a_i$ probar $$\frac {ab}{a+b} \geq \sum ^n_{i=1} \frac{a_ib_i}{a_i+b_i}$$ Adicionales: se debería utilizar la desigualdad de Cauchy. Sin embargo , si no es posible resolver con cualquier cosa que usted desea.

Cosas que he hecho hasta ahora:

Escrito en forma diferente a $\frac {(\sum ^n_{i=1} b_i)(\sum ^n_{i=1} a_i)}{(\sum ^n_{i=1} b_i)+(\sum ^n_{i=1} a_i)} \geq \sum ^n_{i=1} \frac{a_ib_i}{a_i+b_i}$

Y tal vez esto podría llevarme a algún sitio: ${(\sum ^n_{i=1} b_i)(\sum ^n_{i=1} a_i)} \geq (\sum ^n_{i=1} \frac{a_ib_i}{a_i+b_i})({(\sum ^n_{i=1} b_i)+(\sum ^n_{i=1} a_i)})$

Y otra cosa que vino a mi mente:

${(\sum ^n_{i=1} b_i)(\sum ^n_{i=1} a_i)} \geq (\sum ^n_{i=1} \sqrt {a_ib_i})^2$

$(\sum ^n_{i=1} \frac{a_ib_i}{a_i+b_i})(\sum ^n_{i=1} a_i+b_i)\geq (\sum ^n_{i=1} \sqrt {a_ib_i})^2$

Mi principal problema es encontrar dos paréntesis multiplicar por escrito de Cauchy. Quiero algunos consejos sobre esto acaba de empezar a trabajar con la desigualdad.

Actualización

Parece que nadie puede venir con respuesta usando Cauchy y sin la inducción y Armónica , Geométrica y ... los medios.así que si la respuesta no vienen hasta mañana,voy a dar por vencido y aceptar Liu Gang respuesta.

Y me gustaría que alguien podría explicar por qué no puede ser resuelto utilizando Cauchy y sin la inducción y Armónica , Geométrica y ... los medios.(preguntando esto porque la posibilidad de poner recompensa)

2º-Actualización

podemos utilizar cualquier medio de las desigualdades.pero sólo por el número dos como $x$$y$.no forma generalizada para $n$ números.

Answer 1

Sugerencia:

Sólo tenemos que demostrar que esto es cierto para $n=2$. Desde if es aceptable para $n=2$, entonces

\begin{align} \frac{ab}{a+b} &= \frac{(a_1 + \sum_{i=2}^na_i)(b_1 + \sum_{i=2}^nb_i) }{a_1 + \sum_{i=2}^na_i + b_1 + \sum_{i=2}^nb_i} \\ &\geq \frac{a_1b_1}{a_1 + b_1} + \frac{(\sum_{i=2}^na_i)(\sum_{i=2}^nb_i)}{\sum_{i=2}^na_i + \sum_{i=2}^nb_i} \\ & \geq \cdots \geq \sum_{i=1}^n\frac{a_ib_i}{a_i + b_i} \end {Alinee el}

Cuando $n=2$, la desigualdad es equivalente a\begin{align} \frac{a_1b_1}{a_1 + b_1}(a_2 + b_2) + \frac{a_2b_2}{a_2 + b_2}(a_1 + b_1) \leq a_1b_2 + a_2b_1 \end {Alinee el}

que se puede probar tomando nota $x_1 = \frac{a_1}{a_1 + b_1}(a_2 + b_2)$, $y_2 = b_1$, $x_2 = a_2$, $y_1 = \frac{b_2}{a_2 + b_2}(a_1 + b_1)$ y usando la desigualdad del cambio

Answer 2

Esto es realmente sólo un ataque de fuerza bruta variación en la respuesta por Liu Gang. Considerar la forma equivalente $$ \sum_{i,j}\frac{a_ib_i(a_j+b_j)}{a_i+b_i}\leq\sum_{i,j}a_ib_j. $$ En estas dos cantidades, la diagonal términos con $i=j$ cancelar, por lo que podemos mostrar de forma equivalente $$ \sum_{i\neq j}\frac{a_ib_i(a_j+b_j)}{a_i+b_i}\leq\sum_{i\neq j}a_ib_j. $$ Con el fin de mostrar esta desigualdad, es suficiente para demostrar, por todos los $i\neq j$, que $$ \frac{a_ib_i(a_j+b_j)}{a_i+b_i}+\frac{a_jb_j(a_i+b_i)}{a_j+b_j}\leq a_ib_j+a_jb_i. $$ En otras palabras, hemos reducido para el caso de $n=2$. Vamos, que para los métodos de representación de la conveniencia, puesto $i=1,j=2$. Aquí se podría emplear el reordenamiento de la desigualdad para finalizar el argumento. Deje que nosotros en lugar de multiplicar por $(a_1+b_1)(a_2+b_2)$ y cancelar los términos de poner esta desigualdad en la forma equivalente $$ a_1b_1a_2b_2+a_2b_2a_1b_1\leq a_1^2b_2^2+a_2^2b_1^2. $$ De nuevo, hemos podido terminar el argumento mediante el reordenamiento de la desigualdad. Deje que nosotros en lugar de agregar $a_1^2b_1^2+a_2^2b_2^2$ a ambos lados, yeilding $$ \sum_{i,j=1}^2 a_i b_i a_j b_j\leq \sum_{i,j=1}^2 a_i^2b_j^2. $$ Pero esta es la de Cauchy-Schwarz desigualdad aplicado a los vectores $a=(a_1,a_2),b=(b_1,b_2)$ (que es, por supuesto, una consecuencia de la reordenación de la desigualdad).