Aplicando el Teorema Central del Límite para demostrar que $E\left(\frac{|S_n|}{\sqrt{n}}\right) \to \sqrt{\frac{2}{\pi}}\sigma$

Question

En el libro Probability Essentials, de Jacod y Protter, la siguiente pregunta me ha molestado durante mucho tiempo y me pregunto si está mal. La pregunta es una aplicación del Teorema Central del Límite:

Dejemos que $(X_j)_{j\geq1}$ ser iid con $E[X_j] =0$ y $\sigma_{X_j}^2 = \sigma^2 < \infty$ . Sea $S_n = \sum_{j=1}^n X_j$ . Demostrar que $$\lim_{n\rightarrow \infty} E\left\{\frac{|S_n|}{\sqrt{n}}\right\} = \sqrt{\frac{2}{\pi}}\sigma$$

Lo que he probado y soy consciente de ello:

Intercambiar E y lim es erróneo ya que $\frac{|S_n|}{\sqrt{n}}$ NO converge a.s a $|Z|$ donde $Z \sim \mathcal{N}(0,\sigma^2)$ pero lo hace en la distribución. Nótese el uso del teorema de la cartografía continua.

La convergencia débil, también conocida como convergencia en la distribución, implica $E[f(X_n)] \rightarrow E[f(X)]$ cuando $X_n \rightarrow^d X$ para f continua y acotado . $f(x)=|x|$ no está acotado.

He intentado utilizar una versión truncada de $|X|$ . Pero en un momento dado tuve que cambiar los límites y no pude justificar los pasos.

Agradezco cualquier ayuda. Además, por favor, evite el teorema de Skorokhod si es posible, ya que no ha sido cubierto. Aunque si tienes una idea usando eso, soy todo oídos. Nota: El RHS es $E|Z|$ .

Answer 1

Suponemos que $\sigma=1$ .

• Demuestre que para todo $K$ y todos $n$ , $$P\left(\frac{|S_n|}{\sqrt n}\geqslant K\right)\leqslant\frac 1{K^2}.$$

• Esto implica $$\int \frac{|S_n|}{\sqrt n}dP\leqslant \int_{|S_n|<K\sqrt n} \frac{|S_n|}{\sqrt n}dP+\frac 1{K^2}.$$

• Utilice la definición de convergencia débil junto con $x\mapsto \min\{|x|,K\}$ un mapa continuo acotado.

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En realidad, existe un resultado más profundo (que no es necesario aquí) llamado principio de invariancia (véase el libro de Billingsley Convergencia de las medidas de probabilidad ) en el que se decía lo siguiente. Tome $\{X_n\}$ una secuencia de variables aleatorias centradas i.i.d., con $EX_n^2=1$ y definir para cada uno $n$ una función aleatoria $f_n(\omega,\cdot)$ de la siguiente manera:

• $f_n(\omega,kn^{-1})=\frac 1{\sqrt n}\sum_{j=1}^kX_j(\omega)$ para $0\leqslant k\leqslant n$ .
• $f_n(\omega,\cdot)$ es lineal a trozos.

Las medidas asociadas a estas funciones convergen en ley a un movimiento browniano.

Ahora, para obtener el resultado, toma el funcional continuo acotado $F\colon C[0,1]\to \Bbb R$ dado por $F(f)=|f(1)|$ . La primera versión del principio de invariancia, encontrada por Kac y Erdos, se refería al funcional $F(f):=\sup_{0\leqslant x\leqslant 1}f(x)$ . Entonces Donsker lo generalizó.

Answer 2

En pocas palabras, se consideran algunas variables aleatorias $(Y_n)_n$ y $Y$ definido en un espacio de probabilidad $(\Omega,\mathcal F,\mathbb P)$ , de tal manera que $Y_n\to Y$ en la distribución y se pregunta si $\mathbb E(Y_n)\to \mathbb E(Y)$ (en su caso, $Y_n=|S_n|/\sqrt{n}$ y $Y=|Z|$ ). Obviamente, esto no es cierto en general y el lema de Fatou sólo garantiza que $\liminf \mathbb E(Y_n)\geqslant \mathbb E(Y)$ . Pero aquí también se sabe que $(Y_n)_n$ está acotado en $L^2(\mathbb P)$ desde $\mathbb E(Y_n^2)=\sigma^2$ por cada $n$ . Por lo tanto, $(Y_n)_n$ es uniformemente integrable y, junto con la convergencia en la distribución, esto garantiza que $\mathbb E(Y_n)\to\mathbb E(Y)$ .

Se puede demostrar la última afirmación de la siguiente manera. En primer lugar, existen algunas variables aleatorias $(\bar Y_n)_n$ y $\bar Y$ , posiblemente definida en otro espacio de probabilidad $(\bar\Omega,\bar{\mathcal F},\bar{\mathbb P})$ , de tal manera que cada $\bar Y_n$ se distribuye como $Y_n$ , $\bar Y$ se distribuye como $Y$ y $\bar Y_n\to\bar Y$ casi seguro. En particular, (1) $\bar Y_n\to\bar Y$ en probabilidad y (2) $(\bar Y_n)_n$ es uniformemente integrable. Para cualquier integrable $\bar Y$ las propiedades (1) y (2) juntas son equivalentes a la convergencia $\bar Y_n\to\bar Y$ en $L^1(\bar{\mathbb P})$ es decir, al hecho de que $\bar{\mathbb E}(|\bar Y_n-\bar Y|)\to0$ . En consecuencia, $\mathbb E(Y_n)=\bar{\mathbb E}(\bar Y_n)\to \bar{\mathbb E}(\bar Y)=\mathbb E(Y)$ .

Answer 3

Este problema tiene dos partes:

1) $\limsup_{n \rightarrow \infty} E[\frac{|S_n|}{\sqrt{n}}] \leq E[|Z|]$

Prueba: (Créditos para DavideGiraudo)

$$E[\frac{|S_n|}{\sqrt{n}}] = E[\frac{|S_n|}{\sqrt{n}}1_{\frac{|S_n|}{\sqrt{n}} \leq K}] + E[\frac{|S_n|}{\sqrt{n}}1_{\frac{|S_n|}{\sqrt{n}} > K}]$$ $$\leq E[\frac{|S_n|}{\sqrt{n}}1_{\frac{|S_n|}{\sqrt{n}} \leq K}] + \sqrt{E[\frac{S_n^2}{n}]}.\sqrt{P(\frac{|S_n|}{\sqrt{n}} > K) }$$ (Cauchy Schwarz) $$\leq E[\frac{|S_n|}{\sqrt{n}}1_{\frac{|S_n|}{\sqrt{n}} \leq K}] + \sigma^2.\frac{1}{K}$$ (Utiliza la desigualdad de Markov)

Tomar limsup en ambos lados

$$\limsup_{n \rightarrow \infty} E[\frac{|S_n|}{\sqrt{n}}] \leq \limsup_{n \rightarrow \infty} E[\frac{|S_n|}{\sqrt{n}}1_{\frac{|S_n|}{\sqrt{n}} \leq K}] + \sigma^2.\frac{1}{K}$$ $$\leq \limsup_{n \rightarrow \infty} E[\frac{|S_n|}{\sqrt{n}}1_{\frac{|S_n|}{\sqrt{n}} \leq K}] + K.P(\frac{|S_n|}{\sqrt{n}} > K) + \sigma^2.\frac{1}{K} \quad (\times)$$ He añadido ese término extra por una razón...

Ahora utiliza lo siguiente: (a) $f(x)=\min(|x|,K)$ es continua y acotada

(b) $E[f(X_n)] \rightarrow E[f(X)]$ si $X_n \rightarrow^w X$ . f como en (a)

Tenga en cuenta que $E[f(\frac{|S_n|}{\sqrt{n}})] = E[\frac{|S_n|}{\sqrt{n}}1_{\frac{|S_n|}{\sqrt{n}} \leq K}] + K.P(\frac{|S_n|}{\sqrt{n}} > K)$

Ahora aplique (a) y (b) a $(\times)$ para conseguir

$$\limsup_{n \rightarrow \infty} E[\frac{|S_n|}{\sqrt{n}}] \leq E[|Z|1_{|Z| \leq K}] + K.P(|Z| > K) + \sigma^2.\frac{1}{K}$$ LHS es independiente de K. Toma $K \rightarrow \infty$ . Tenga en cuenta que $K.P(|Z| > K) \rightarrow 0$ y la MCT aplicada al primer término da como resultado

$$\limsup_{n \rightarrow \infty} E[\frac{|S_n|}{\sqrt{n}}] \leq E[|Z|]$$

(2) $\liminf_{n \rightarrow \infty} E[\frac{|S_n|}{\sqrt{n}}] \geq E[|Z|]$ Prueba:

$$E[\frac{|S_n|}{\sqrt{n}}] = E[\frac{|S_n|}{\sqrt{n}}1_{\frac{|S_n|}{\sqrt{n}} \leq K}] + E[\frac{|S_n|}{\sqrt{n}}1_{\frac{|S_n|}{\sqrt{n}} > K}]$$ $$\geq E[\frac{|S_n|}{\sqrt{n}}1_{\frac{|S_n|}{\sqrt{n}} \leq K}] + K.P(\frac{|S_n|}{\sqrt{n}} > K)$$ Tome $\liminf_{n \rightarrow \infty}$ para conseguir

$$\liminf_{n \rightarrow \infty} E[\frac{|S_n|}{\sqrt{n}}] \geq E[|Z|1_{|Z| \leq K}] + K.P(|Z| > K)$$ (He utilizado (b)) Toma $K \rightarrow \infty$ Utiliza el MCT en el primer término del lado derecho para obtener

$\liminf_{n \rightarrow \infty} E[\frac{|S_n|}{\sqrt{n}}] \geq E[|Z|]$

Así, obtenemos $\lim_{n \rightarrow \infty} E[\frac{|S_n|}{\sqrt{n}}] = E[|Z|]$ QED