Extraña integración doble de Grassmann

Question

Puedo entender por qué porque la integración sobre las variables de Grassman tiene que ser invariante traslacional también, uno tiene

$$ \int d\theta = 0 $$

y

$$ \int d\theta \theta = 1 $$

pero no veo dónde está la regla para esta doble integración

$$ \int d^2 \theta \bar{\theta}\theta = -2i $$

viene de.

Entonces, ¿alguien puede explicarme cómo se motiva y/o deriva esto?

Answer 1

Como con todo lo que tiene que ver con la supersimetría, los detalles dependerán de sus convenciones exactas, pero podemos obtener el resultado como sigue:

Supongamos que tenemos dos variables de Grassman $\theta_1$ y $\theta_2$ . Aplicando su primera fórmula dos veces encontramos $$\int d\theta_1 d\theta_2 \, \theta_2 \theta_1 = 1$$ Ahora combina estos en $$\theta = \theta_1 + i\theta_2 \qquad \text{and} \qquad \bar{\theta}=\theta_1-i\theta_2.$$ Entonces tenemos $$\bar{\theta} \theta = - 2i\theta_2\theta_1$$ y por lo tanto $$\int d\theta_1 d\theta_2 \bar{\theta} \theta = - 2i$$ que es exactamente su segunda integral, si identificamos la medida $$d^2\theta = d\theta_1 d\theta_2.$$