Cómo probar esta desigualdad integral

Question

que $f:[0,1]\longrightarrow R$ ser una función diferenciable con el continuo derivado tal que $f(1)=0$, muestran que:

$$4\int_{0}^{1}x^2|f'(x)|^2dx\ge\int_{0}^{1}|f(x)|^2+\left(\int_{0}^{1}|f(x)|dx\right)^2$$

Creo que se puede utilizar la desigualdad de Cauchy-schwarz

$$\int_{a}^{b}f^2(x)dx\int_{a}^{b}g^2(x)dx\ge\int_{a}^{b}(f(x)g(x))^2dx$$

Answer 1

Vamos

$$c := \int_0^1 f(x) \, dx \tag{1}$$

Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que

$$\int_0^1 (f(x)+c)^2 \, dx >0$$

de lo contrario,$f=-c$, por lo tanto $f=0$ (desde $f(1)=0$, por supuesto) y en este caso la desigualdad es trivial satisfecho.

Integración por partes de los rendimientos

$$\begin{align*} \int_0^1 (f(x)+c)^2 \, dx &= \bigg[x \cdot (f(x)+c)^2\bigg]_0^1 - 2 \int_0^1 x \cdot (f(x)+c) \cdot f'(x) \\ &= c^2 + 2 \int_0^1 -(f(x)+c) \cdot f'(x) \cdot x \end{align*}$$

donde hemos utilizado que $f(1)=0$. Aplicando la desigualdad de Jensen, obtenemos

$$\int_0^1 |f(x)+c|^2 \, dx -c^2 \leq 2 \sqrt{ \int_0^1 |f(x)+c|^2 \, dx} \cdot \sqrt{\int_0^1 x^2 \cdot f'(x)^2 \, dx}$$

es decir,

$$\sqrt{\int_0^1 |f(x)+c|^2 \, dx} - \frac{c^2}{\sqrt{\int_0^1 |f(x)+c|^2 \, dx}} \leq 2 \sqrt{\int_0^1 x^2 \cdot f'(x)^2 \, dx} $$

El cuadrado ambos lados de los rendimientos

$$\int_0^1 |f(x)+c|^2 \, dx - 2c^2 + \frac{c^4}{\int_0^1 |f(x)+c|^2 \, dx} \leq 4 \int_0^1 x^2 \cdot f'(x)^2 \, dx \tag{2}$$

Tenga en cuenta que, por definición,

$$\int_0^1 |f(x)+c|^2 \, dx = \int_0^1 f(x)^2 \, dx +2c \underbrace{\int_0^1 f(x) \, dx}_{c} + c^2 \stackrel{(1)}{=} \int_0^1 f(x)^2 \, dx + 3 \left( \int_0^1 f(x) \, dx \right)^2 $$

Por lo tanto, $(2)$ es equivalente a

$$\int_0^1 |f(x)|^2 \, dx + \left( \int_0^1 f(x) \, dx \right)^2 + \underbrace{\frac{c^4}{\int_0^1 |f(x)+c|^2 \, dx}}_{\geq 0} \leq 4 \int_0^1 x^2 \cdot f'(x)^2 \, dx$$