Estructuras de foliaciones en paquetes asociados

Question

Supongamos $M$ es Kähler. Deje $P \to M$ ser la principal $U(n)$-cuadro de paquete de $M$. Deje $(\pi,V)$ ser finito dimensionales unitaria representación de $U(n)$ y deje $E = P \times_\pi V$ ser el complejo asociado vector paquete. Tengo curiosidad acerca de las respuestas y las referencias a las siguientes preguntas:

• Es$E$, naturalmente, de un holomorphic vector paquete?
• Si es así, es la conexión de $E$ heredado por la Chern = Levi Civita conexión en $M$, el Chern conexión? Aquí estoy usando la hermitian métrica en $E$ inducida por el hermitian producto interior en $V$ y por Chern conexión me refiero a la única conexión en $E$ compatible con la hermitian métrica y tal que $\nabla^{0,1} = \bar\partial_E$, el holomorphic estructura en $E$.

Gracias!

Answer 1

La respuesta a ambas preguntas es sí. El primero sigue de Weyl es unitaria truco: $\pi$ puede ser extendida a una holomorphic rep $\tilde\pi$$GL(n,\mathbb C)$. A continuación, podemos ver $E$ como se relaciona con el director de $GL(n,\mathbb C)$ marco de paquete de $M$ $E$ debe ser holomorphic (la transición de las funciones de se $\tilde \pi \circ g_{\alpha\beta}$ donde$g_{\alpha\beta}$, son la transición de las funciones de $TM$).

Para la segunda respuesta si trabajamos en una banalización, a continuación, $\nabla^M = d + A$ algunos $A \in \Omega^1(M; \mathfrak{gl}(n,\mathbb C))$. Dado que este es el Chern de conexión, $A \in \Omega^{1,0}(M;\mathfrak{gl}(n,\mathbb C))$. A continuación, la conexión en $E$ parecerá $d + \tilde \pi(A)$, lo que claramente ha $(0,1)$ parte igual a $\bar\partial$. Por último, de que la conexión en $E$ preserva la Hermitian estructura es inmediata, ya que la representación de $\pi$ es unitaria.