Forma general de una prueba que $ab=0 \implies a=0 \lor b=0$

Question

Cuando se acredite que el $ab = 0 \implies a = 0 \,\mbox{ or }\,b = 0$ para los miembros de la $a$ $b$ de un campo, he utilizado un argumento como

1. Supongamos $ab = 0$ $a \ne 0$ ... entonces $b = 0$.
2. Ahora supongamos $ab = 0$ $b \ne 0$ ... entonces $a = 0$.
3. Por lo tanto, si $ab = 0$, $a = 0$ o $b = 0$.

La forma general de ese argumento, como lo que puedo decir, ser

$$ (p \de la tierra \lnot q \i) \de la tierra (p \de la tierra \lnot r \q) \(p \q \lor r) $$

Es que de forma general, de hecho, un argumento válido? ¿Cómo puedo saber con certeza? (Hay un "seguro"?)

Answer 1

Hay un método de fuerza bruta para comprobar si contiene un fórmula lógico como el que indicas. Es decir, hacer una tabla de verdad: http://en.wikipedia.org/wiki/Truth_table. En otras palabras, considerar todas las %#% posibilidades de #% de $8$.

Answer 2

Un enfoque más simple es afirmar que si $a\ne 0$, entonces el $a$ tiene un inverso multiplicativo y $$0_F=a^{-1}0_F=a^{-1}(ab)=(a^{-1}a)b=1_Fb=b\;.$$ (I'm assuming that you've already proved that $a0_F=0_F$ for every $a\in F $.) The form of this argument is $% $ $(p\land\lnot q\to r)\to(p\to q\lor r)\;,$sin el segundo conjunto en el lado izquierdo. Para comprobar que es válida, basta con ver su tabla de verdad:

$$\begin{array}{c|c} p&q&r&p\land\lnot q\to r&p\to q\lor r&(p\land\lnot q\to r)\to(p\to q\lor r)\\ \hline T&T&T&T&T&T\\ T&T&F&T&T&T\\ T&F&T&T&T&T\\ T&F&F&F&F&T\\ F&T&T&T&T&T\\ F&T&F&T&T&T\\ F&F&T&T&T&T\\ F&F&F&T&T&T \end{matriz} $$

De hecho, usted puede ver que más vale:

$$(p\land\lnot q\to r)\leftrightarrow(p\to q\lor r)\;.$$

Answer 3

% Toque $\ $el primer paso es suficiente: $\rm\: p\to q\lor r\, \equiv\, \lnot p\lor q\lor r \,\equiv\, \lnot (p\land \lnot q)\lor r\,\equiv\, p\land \lnot q\to r $

Answer 4

Sí, es válido. Se podría utilizar una tabla de verdad.

Tenga en cuenta que $p \land \lnot q \to r$ es equivalente a $\lnot (p \land \lnot q \land \lnot r)$ y así a $\lnot(p \land \lnot (q \lor r))$, que es equivalente a $p \to (q \lor r)$. Así $(p \land \lnot q \to r) \to (p \to (q \lor r))$, que $$(p \land \lnot q \to r) \land (p \land \lnot r \to q) \to (p \land \lnot q \to r) \to (p \to (q \lor r))$ $

Answer 5

Esto es válido, pero mucho más complicado de lo que usted necesita. Usted ya se hizo cargo de la única parte que toma cualquier trabajo en el paso 1.

Supongamos $ab = 0$ $a \neq 0$ ... entonces $b = 0$.

De lo contrario, si no es cierto que $a \neq 0$,$a = 0$. Así, en cualquiera de los casos ($a \neq 0$ o $a = 0$), al menos uno de $a$ $b$ es 0. Yo podría escribir el argumento de partida diciendo que "Si $a = 0$, entonces hemos terminado. Así, supongamos $a \neq 0$." Ahora, hacer los pasos para obtener el $b = 0$.

O bien, otra forma de pensar acerca de por qué usted no necesita el Paso 2, por conmutatividad y reetiquetado, es exactamente la misma que el Paso 1.