Encontrar la matriz de proyección

Question

Encontrar la matriz de la proyección de $\mathbb{R}^3$ en el plano $x-y-z = 0.$

Puedo encontrar un vector unitario normal del plano, que es $\vec{n}=(\frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{1}{\sqrt{3}})^T$

Y entonces el $\vec{u}=(1,1,0)^T, \ \vec{v} = (1,0,1)^T$ de vectores forman una base del $\mathbb{R}^3$. pero por qué la solución sería %#% $ #%

Answer 1

Suponiendo que te refieres a la ortogonal proyección sobre el plano $W$ dada por la ecuación de $x-y-z$, es igual a la identidad menos la proyección ortogonal en $W^\perp$, que es suavemente más fácil calcular. Ahora $W^\perp$ es del vector normal $v=(1,-1,-1)$, la proyección ortogonal sobre el que es $x\mapsto \frac{(v\mid x)}{(v\mid v)}v$ y cuya matriz es \frac13\begin{pmatrix}1\\-1\\-1\end{pmatrix $$}\begin{pmatrix}1&-1&-1\end{pmatrix} = \frac13\begin{pmatrix}1&-1&-1\\-1&1&1\\-1&1&1\end{pmatrix}. $$ Restar esto de la identidad da $$\begin{pmatrix}2/3&1/3&1/3\\1/3&2/3&-1/3\\1/3&-1/3&2/3\end{pmatrix}. $$

Answer 2

Un vector normal al plano es ${\bf n} = (1,-1,-1)$. Quiero tomar un $(x,y,z) \in \Bbb R^3$, considere la línea a través de este punto con dirección $\bf n$ y ver donde golpea el plano. Contamos con la línea: %#% $ de #% quiero $${\bf X}(t) = (x+t,y-t,z-t), \quad t \in \Bbb R.$ tal que $t_0$ satisface la ecuación del plano. Por lo que la relación que tenemos es: ${\bf X}(t_0)$ $ con esto, $$x+t_0 - (y-t_0) - (z-t_0)=0 \implies x-y-z+3t_0 = 0 \implies t_0 = \frac{-x+y+z}{3}.$. Tenemos $P(x,y,z) = \left(x+\frac{-x+y+z}{3}, y - \frac{-x+y+z}{3}, z - \frac{-x+y+z}{3}\right)$$$\begin{align}P(1,0,0) &= (2/3, 1/3, 1/3) \\ P(0,1,0) &= (1/3, 2/3, -1/3) \\ P(0,0,1) &= (1/3,-1/3, 2/3)\end{align},$% $ $ so the matrix would be: $

Answer 3

En general se puede escribir la matriz de proyección muy fácilmente mediante una arbitraria base para el subespacio. Mira este.

Así que para su caso, en primer lugar encontrar una base para el avión;

$$x-y-z=0\Longrightarrow x=y+z$$ $$\{\begin{bmatrix} 1\\ 1\\ 0\end{bmatrix},\begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 1\end{bmatrix}\}$$

Now let $Una:=\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 1 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix}$, your projection matrix is $A(A^tA)^t$. De la computación por la mano no es difícil, pero yo prefiero poner el Arce de cálculo para usted aquí;

A := Matrix([[1, 1], [1, 0], [0, 1]]);
P := A.MatrixInverse(Transpose(A).A).Transpose(A);

El resultado es; $$\begin{bmatrix} \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3}\\ \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & -\frac{1}{3}\\ \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} & \frac{2}{3}\end{bmatrix}$$

Now the matrix you showed at the end of your question. If you extend an arbitrary basis of $W$ which of course it has 2 elements, to a basis for $\mathbb{R}^3$ and then indexing these three vectors in the way that the new added vector be the first then representation of $P$ in this new ordered basis is $\begin{bmatrix}0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$ because say $B:=\{v_1,v_2,v_3\}$ be this ordered basis then basis of $W$ is $\{v_2,v_3\}$en la nueva coordinar; $$v_2=0v_1+1v_2+0v_3\longrightarrow v_2=\begin{bmatrix}0\\ 1\\ 0\end{bmatrix}$$ $$v_2=0v_1+0v_2+1v_3\longrightarrow v_2=\begin{bmatrix}0\\ 0\\ 1\end{bmatrix}$$ Ahora dejando $A:=\begin{bmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix}$ Tenemos;

A := Matrix([[0, 0], [1, 0], [0, 1]]);
P := A.MatrixInverse(Transpose(A).A).Transpose(A);

El resultado es; $$\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$$

But pay attention this representation of $P$ is not in the standard coordinate, it is in the new coordinate system given by the ordered basis $B$.

Answer 4

Suponiendo que usted está buscando una proyección ortogonal las otras respuestas son buenas. Pero el texto del problema solicitar una proyección genérica en un plano donde $x=y+z$, por lo que una solución es la matriz: $$ \left [\begin{array}{cccc} 0&1&1\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{matriz} \right] $$

El % de matriz $A$es una proyección sobre el plano $x=0$.