Un problema de Spivak ' s cálculo de colectores

Question

La notación

Como Spivak sugiere, dado $A\subset\mathbb R^n$, límite de $A$ indica el límite topológico de $A$, es decir,$\overline A\cap\overline{A^c}$.

Problema 5-3(a): Vamos a $A\subset\mathbb R^n$ ser un conjunto abierto tal que el límite de $A$ $n-1$ dimensiones múltiples. Mostrar que $N=A\cup$ límite de $A$ $n$ dimensiones del colector-con-límite.

Pensamientos

Parece que sólo tenemos que demostrar que hay un barrio en $V_x$ $x\in$ límite de $A$ tal que $V_x\cap N$ es diffeomorphic a $\mathbb R^n$ o $[0,\infty)\times \mathbb R^{n-1}$. La primera situación es cuando se reunió $A=\{x:0<\lVert x\rVert<1\}$.

La condición de límite de $A$ es indispensable, pero no sé cómo hacer uso de ella. En primer lugar, he encontrado un contraejemplo, finalmente, se ha señalado por alguien que está en contra de la condición de límite de $A$: $$A=\bigcup_{n=1}^\infty\left(\frac1{2^{n+1}},\frac1{2^n}\right)\times\mathbb R$$ Parece que, el material de los colectores no es que sea manejable.

Answer 1

Usted desea utilizar todo lo dado - en particular, hemos ignorado la definición de $\partial A$ como el conjunto de límite de puntos de $A.$ La prueba que se presenta a continuación.

Por supuesto, para cualquier $x\in\partial A,$ existen abrir conjuntos de $x\in U \subset \mathbb{R}^{n},\, V\subset \mathbb{R}^{n},$ y un diffeomorphism $g: U \to V$ tal que $g(U\cap \partial A) = V\cap \mathbb{R}^{n-1}\times\{0\}.$ Lo que queremos mostrar es que el $g(U'\cap (A \cup \partial A)) = V'\cap (\mathbb{R}^{n-1}\times[0,\infty))$ o $V'\cap \mathbb{R}^{n}$ para algunos subconjuntos $U'\ni x$ $U$ $V'$ $V.$

Considere la posibilidad de una secuencia de puntos de $A\ni\{x_k\}\to x$ que $\{g(x_k)\}\to g(x)$ se encuentra en su totalidad en la mitad del plano(s) $\mathbb{R}^{n}_{>0} = \mathbb{R}^{n-1}\times (0,\infty)$ (o $\mathbb{R}^{n-1}\times(-\infty,0)$). Ahora, supongamos que no hay ninguna abierta vecindario $V'$ $g(x)$ tal que $\mathbb{R}^{n}_{>0}\cap V' \subset g(U).$ Esto significa que hay una secuencia de puntos en $R^{n}_{>0} - g(U)$ que converge a $g(x).$ llamemos a esta secuencia $\{y_k\}.$ debe ser el caso de que el segmento de línea que conecta $g(x_k)$ $y_k$ (para cada una de las $k$) contiene un punto en $g(U\cap\partial A),$ pero obviamente, esto es imposible, ya que $g(U\cap \partial A)$ incluye sólo los puntos con el último coordinar $0.$

Observación: tenga en cuenta que no es necesariamente cierto que $\partial A = \partial N.$