¿Es cierto que se puede representar cualquier función lisa $f\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ como $$ f (x) = \nabla U(x) + g (x) $$ donde $U(x)$ es una función escalar y $\langle g(x), f(x) \rangle \equiv 0$? ¿Es esta representación única?
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Evan Anderson
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Esto no es cierto como Ilya dijo en su comentario, sin embargo, si queremos modificar la declaración:
Lisa campo vectorial con soporte compacto $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ puede ser representado como $f = \nabla U + g$ donde $\langle g, \nabla U \rangle = 0$.
Y este es Helmholtz descomposición suave de los campos vectoriales en $\mathbb{R}^n$, podemos establecer un variacional del problema de la siguiente manera: Encontrar $U\in H^1_c(\mathbb{R}^n)$, de tal manera que $$ \langle \nabla U, \nabla v \rangle = \langle f, \nabla v \rangle = -\langle \mathrm{div}f, v \rangle \quad \text{ para cualquier } v\in H^1_c(\mathbb{R}^n) $$ Esta es una elíptica problema con una solución única $U$, dejando $g = f- \nabla U$ le da lo que quiere, y $g$ es ortogonal a $\nabla U$, entonces la descomposición es única, no tiene un problema como Ilya se mencionó en el primer comentario, establezca $f=0$ te llevaría $g = -\nabla U$, y la ortogonalidad implica $\nabla U = 0$ $U$ es una constante, por compacto supportedness, $U=0$.
Permítanme resumir mis comentarios como una respuesta a pregunta original. Dado un suave mapa de $f$, considere la posibilidad de un problema de la existencia de un par de $(U,g)$ tal que $U$ es un suave función escalar y $g$ es un buen mapa y tal que $$ f = \nabla U+g, \etiqueta{1} $$ $$ f\cdot g = 0. \etiqueta{2} $$
Multiplicando ambos lados en $(1)$$f$, obtenemos $$ \|f\|^2 - f\cdot \nabla U = f\cdot g = 0. $$ Por lo tanto, el problema de $(1)+(2)$ se puede reducir al problema de la existencia de $U$ tal que $$ f\cdot \nabla U = \|f\|^2 \etiqueta{3} $$ y si la solución de la última 1er orden lineal de la PDE existe, $g = f - \nabla U$ es la función necesaria en $(1),(2)$. Por desgracia, no puedo decir nada acerca de la existencia de la solución de este PDE en el caso general (es decir, cuando $f$ es suave).
La singularidad no se sostiene: tome $f = 0$, entonces estamos buscando para $(U,g)$ tal que $$ g = - \nabla U. $$ Claramente, cualquier $U$ liso resuelve el problema.
