Probar la medida de la probabilidad de $X=Y$ $0$

Question

Que $(X,Y)$ sea una variable aleatoria que toma valores en $\mathbb{R}^2$. Decir $X$ y $Y$ son independientes si $E(f(X)g(Y))=Ef(X)Eg(Y)$. Demostrar eso si $P(X=a)=0$ % todo $a\in\mathbb{R}$, entonces el $P(X=Y)=0$.

Mi trabajo:

Podemos definir $\mu(A)=P(X\in A)$ y $\nu(B)=P(Y\in B)$ como medida de probabilidad. Entonces, uno tiene $P(X=a)=\mu(a)=0$. Pero he problema probar $P(X=Y)=P(X=a,Y=a)=\mu(a)\nu(a)=0$, por lo que no sabemos si dos variables son independientes o no. ¿Alguien me puede dar consejos?

Answer 1

Si la variables aleatorias $X$ y $Y$ no son independientes, entonces el resultado no es cierto. Tomemos, por ejemplo, $Y=X$ donde $X$ es una variable aleatoria continua.

Answer 2

Como se señaló, se debe asumir $X,Y$ son independientes.

Que $f(x,y) = \begin{cases} 1, & x=y \\ 0, & x \ne y \end{cases}$ ser la función delta de Kronecker. Luego tenga en cuenta que $P(X=Y) = E[f(X,Y)]$.

Ahora si $\mu,\nu$ son las respectivas distribuciones de $X,Y$, por la independencia y el teorema de Fubini, tenemos %#% $ #% pero cada $$P(X=Y) = E[f(X,Y)] = \iint_{\mathbb{R}^2} f(x,y)\, (\mu \times \nu)(dx,dy) = \int_{\mathbb{R}} \int_{\mathbb{R}} f(x,y) \mu(dx) \nu(dy).$, tenemos $y \in \mathbb{R}$.