Cuando no se cumple la DCT pero sí el teorema de convergencia de Vitali

Question

Estaba resolviendo un problema de ejercicio en Análisis Real y Complejo de Rudin cuando me encontré con esta afirmación.

Construya un ejemplo en el que se aplique el teorema de Vitali aunque no se cumplan las hipótesis del teorema de Lebesgue [DCT].

Realmente me pregunto cuál sería ese ejemplo. La interfaz de usuario requiere $\mathcal{L}^1$ y la acotación, mientras que la DCT requiere la acotación por otra función. No consigo separar las dos condiciones diferentes. ¿Podría alguien indicarme un ejemplo que se comporte como indica Rudin?

Teorema de convergencia de Vitali : $(X,\mathcal{F},\mu)$ es un espacio de medida positiva. Si a) $\mu(X)<\infty$ b) $\{f_n\}$ es uniformemente integrable c) $f_n(x)\to f(x)$ a.e. como $n \to \infty$ y d) $|f(x)|<\infty$ a.e. entonces 1) $f\in \mathcal{L}^1(\mu)$ 2) $\lim_{n\to \infty} \int_{X}|f_n-f|d\mu=0$ .

Answer 1

Una idea que resulta fructífera es "trocear" una función que no está en $L_1[0,1]$ en trozos $f\cdot \chi_{A_k}$ donde la medida del $A_k$ son lo suficientemente pequeños para asegurar la integrabilidad uniforme de la secuencia y de tal manera que la secuencia converge puntualmente:

Dejemos que $n$ sea un número entero positivo y se establezca $A_n=[2^{-(n+1)}, 2^{-n}]$ . Partición $A_n$ en $n$ conjuntos medibles $A_n^1$ , $A_n^2$ , $\ldots\,$ , $A_n^n$ cada uno de medida $1/(n\cdot2^{n+1})$ . Para $1\le i\le n$ definir la función $f_n^i$ a través de $f_n^i(x) ={1\over x}\chi_{A_n^i}$ .

Consideremos ahora la secuencia $S=(f_1^1, f_2^1, f_2^2, f_3^1, f_3^2,f_3^3,f_4^1\ldots)$ .

Para ver que esta secuencia es uniformemente integrable:

Dejemos que $n$ sea un número entero positivo. Establezca $\delta={1\over n2^{n+1}}$ . Supongamos que $\mu(E)<\delta$ . Entonces, para cualquier $m\ge n$ y $1\le i\le m$ tenemos $$ \int_E |f_m^i| \le \int_{A_m^i}|f_m^i| \le 2^{m+1}\cdot {1\over m2^{m+1}}= {1\over m}<{1\over n}. $$ Mientras que para $k<n$ y $1\le i\le k$ tenemos $$ \int_E |f_k^i| \le \delta\cdot 2^{k+1}={2^{k+1}\over n2^{n+1}}<{1\over n} . $$ Así, $S$ es uniformemente integrable.

Por la construcción del $A_n$ se ve fácilmente que $S$ converge puntualmente a 0.

Así que, $S$ satisface las hipótesis del Teorema de Convergencia de Vitali. Pero $S$ no está dominado por ningún $L_1$ ya que cualquier función dominante tendría que dominar $f(x)={1\over x}\notin L_1$ .