Sabemos que cualquier suave curva proyectiva puede ser incrustado (cerrado de inmersión) en $\mathbb{P}^3$. Por definición, un esquema proyectivo sobre $k$ admite una incrustación en algunos $\mathbb{P}^n$. Podemos crear una cota superior para la $n$ necesario (tal vez por el fortalecimiento de la hipótesis), es necesario crear una incrustación de un suave dimensión proyectiva $k$ esquema en $\mathbb{P}^n$ mucho como Whitney teorema nos dice que podemos incrustar un $n$ dimensiones del colector en $\mathbb{R}^{2n}$?
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Danimal
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5721
Las respuestas anteriores han contestado a la pregunta en el caso cuando el campo de tierra $k$ es algebraicamente cerrado o al menos infinito, pero la respuesta es diferente al $k$ es finito. Por ejemplo, una suave curva proyectiva $X$ sobre un campo finito $k$ no necesita incluir en $\mathbb{P}^3$, debido a un conjunto de la teoría de la obstrucción: $X$ puede tener más de $k$-puntos de $\mathbb{P}^3$! O $X$ podría tener más cerrado puntos de grado $2$ $\mathbb{P}^3$ hace, y así sucesivamente.
Nghi Nguyen, en su 2005 Berkeley Tel. D. tesis, demostró que estos infinitamente muchas conjunto teórico obstrucciones dar necesarias y suficientes condiciones para embeddability:
Deje $X$ ser suave, un esquema proyectivo de dimensión $m$ sobre un campo finito $k$, y deje $n \ge 2m+1$. Existe un cerrado de inmersión $X \to \mathbb{P}^n$ si y sólo si para cada a $e \ge 1$, el número de puntos cercanos de grado $e$ $X$ es menor o igual que el número de puntos cercanos de grado $e$$\mathbb{P}^n$.
Para una exposición de esto, vea la Sección 8 de Tamiz métodos para las variedades más finito y campos de la aritmética de los esquemas.
A través de una algebraicamente cerrado de campo, cualquier proyectiva lisa variedad de dimensión $n$ puede ser incrustado en $\mathbb P^{2n+1}$. Esto es elemental y se puede encontrar en Shafarevich Básicos de la Geometría Algebraica, Capítulo II, §5.4 . Por supuesto específico de las variedades puede ser incrustado en espacios proyectivos de menor dimensión.
Para un abelian variedad, sin embargo, tenemos una muy satisfactorio completa descripción de la situación:
Para $n=1$, podemos incrustar cualquier abelian (=elíptica) de la curva en $\mathbb P^{2}$.
Para $n=2$, algunos abelian superficies, pero no todos ellos pueden ser incorporados en $\mathbb P^{4}$. Los demás sólo puede ser incrustado en $\mathbb P^{5}$. Esto es debido a Horrocks-Mumford.
Para $n\geq 3$, no abelian variedad de dimensión $n$ puede ser incrustado en $\mathbb P^{2n}$. Sólo pueden ser incrustados en $\mathbb P^{2n+1}$. (Este teorema fue demostrado por Van de Ven.)
Resumen y referencias (añadido posterior) $\quad$ Más de una algebraicamente cerrado de campo de cada proyectiva lisa variedad de dimensión $n$ puede ser incrustado en $\mathbb P^{2n+1}$. La incorporación de la dimensión $2n+1$ es fuerte en el sentido de que para cada $n$ hay un proyectiva lisa variedad de dimensión $n$ no integrable en $\mathbb P^{2n}$.
[Para $n=1$ la nitidez es debido al hecho de que las curvas suaves que no incorpora en $\mathbb P^{2}$ menos que su género es de la forma $(d-1)(d-2)/2$. Para $n\geq 2$ la nitidez es debido a la discusión de abelian variedades de arriba]
G. Horrocks y D. Mumford. Un rango de 2 vector paquete en la P4 con 15,000 simetrías. Topología de 12 (1973), 63-81
A. Van de Ven. En la incrustación de abelian variedades en espacios proyectivos. Ann. Mat. Pura Appl. (4), 103:127-129, 1975.
sickgemini
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2001
Hay un evidente obstáculo: la nonreduced esquema de $k[x_1, x_2, \ldots, x_n]/\langle x_1, x_2, \ldots, x_n \rangle^2$ $0$- dimensional, pero no puede ser incrustado en cualquier espacio de dimensión menor que $n$. Más generalmente, si hay un punto cuya Zariski el espacio de la tangente tiene dimensión $n$, luego tenemos a $n$ coordenadas para incrustar el esquema. Así, por ejemplo, si $A$ es el sub-anillo de $k[t]$ generado por el monomials $t^n$, $t^{n+1}$, $t^{n+2}$, ..., a continuación, $\mathrm{Spec} \ A$ es una reducción dimensional esquema que no puede ser incrustado en menos de $n$ dimensiones.
Reemplazar "dimensión" por el de "máxima dimensión de cualquier Zariski el espacio de la tangente" y creo que debería haber un resultado como este.
El cartel aclara a continuación que él significa lisa variedades. En este caso, la respuesta es sí. Si $X$ es un buen proyectiva variedad de dimensión $d$ más de un infinito campo, a continuación, puede ser incorporado en la dimensión $2d+1$. La idea de la prueba es la de insertar en $\mathbb{P}^{N-1}$ y considerar la Grassmannian de las proyecciones de $\mathbb{P}^{N-1} \to \mathbb{P}^{2d+1}$. Esto ha dimensión$(2d+2)(N-2d-2)$, una muestra de que las condiciones que la proyección no está definido en la $X$, identifica dos puntos de $X$, o no es inyectiva en algún lugar en el Zariski el espacio de la tangente de $X$ todos tienen menor dimensión.
kevtrout
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2774
Esta es una respuesta a una pregunta planteada en Georges respuesta. Lo que comenzó como un comentario, pero yo estaba preocupado por las limitaciones de espacio. Después de una reflexión, es mejor tener como respuesta, porque-a diferencia de los comentarios que he publicado a Georges respuesta: me recibirán una notificación automática de las respuestas a la misma.
Ya que Georges le ha solicitado, el [bruto!] notas de la conferencia donde se hable de los hechos que cualquier curva suave a través de un infinito campo puede ser incrustado en $\mathbb{P}^3$ y "sumergirse" en $\mathbb{P}^2$ con sólo ordinario doble punto de singularidades están disponibles aquí (véase la Sección 5):
http://www.math.uga.edu/~pete/8320notes6.pdf
Como usted verá, yo simplemente estoy repitiendo el argumento en Hartshorne -- omitiendo el más complicado de los detalles de la inmersión resultado ... y que explica por qué el campo de tierra no necesita ser algebraicamente cerrado, pero tiene que ser infinito.
Sobre Horrocks-Mumford y Van de Ven: yo no estaba familiarizado con estos resultados hasta Georges post. Pero todos los que no embeddability declaraciones llevar de inmediato: si usted tiene una incrustación en $\mathbb{P}^n$ sobre el campo de tierra, entonces el cambio de base a la clausura algebraica es todavía una incrustación, por supuesto.
Esto deja a la pregunta de la parte positiva de la Horrocks-Mumford resultado. En forma más fuerte, la pregunta es: ¿es cierto que para cualquier campo $k$, hay un abelian superficie de más de $k$ que puede ser incrustado en $\mathbb{P}^4$? [Sin duda, puedo hacerlo con $\mathbb{P}^2 \times \mathbb{P}^2$ - un producto de dos curvas elípticas, y es concebible para mí que uno puede ser capaz de obtener de este una incrustación en $\mathbb{P}^4$ componiendo con una bien elegida birational isomorfismo, pero ni siquiera he intentado decidir si esto iba a funcionar.]
Tendría que ver la prueba de H-M para ver si puede ser adaptado para responder a esta pregunta. Puede enviar un enlace a la de papel? O, si usted necesita saber lo antes posible, pida a Bjorn Poonen -- come preguntas como esta para el desayuno.
Por último, permítanme señalar que más de una no-algebraicamente cerrado de campo, un director de espacio homogéneo, en virtud de un abelian variedad puede tener más de incrustación de la dimensión de la (Albanese) abelian propia variedad. El ejemplo sencillo de esto es que si una curva suave de género uno puede ser emedded en $\mathbb{P}^2$, entonces para geométrica de las razones que debe integrar como un cúbicos y por lo tanto tiene un punto racional de grado en la mayoría de las $3$. [En realidad, es posible que éste es el único ejemplo. Por la misma teoremas Georges citado anteriormente, la única otra posibilidad es la de una phs que no se incruste en $\mathbb{P}^4$, mientras que su Albanese abelian superficie.]
Hoffmann
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3585
Para contradecir lo que dijo sobre la incrustación de singular variedades, aquí es un teorema de Kleiman y Altman, "Bertini teoremas para la hipersuperficie de las secciones que contiene un subscheme". Comm. Álgebra 7 (1979), no. 8, 775--790.
Deje $X$ ser una variedad algebraica sobre un campo $k$. Para cualquier $x\in X$, definir el local de la incrustación de la dimensión de $e(x)$ $X$ $x$ $e(x)=\dim (\Omega_{X/k}^1\otimes k(x))$ (por lo que si $k$ es perfecto, a continuación, $e(x)$ es sólo la dimensión de la Zariski el espacio de la tangente en $x$). Es fácil ver que para cualquier entero $e$, la $X_e$ $x\in X$ tal que $e(x)=e$ es contructible. Por convención,$\dim\emptyset = -\infty$.
Teorema (Kleiman-Altman) Supongamos $k$ es infinito y $X$ es cuasi-proyectiva (resp. proyectiva)$k$. Deje $r$ ser el máximo de $\dim (X_e) +e$ todos los $e\ge 0$. A continuación, $X$ puede ser incrustado en una suave cuasi-proyectiva (resp. proyectiva) variedad $Z$ de la dimensión de $r$$k$.
Por ejemplo, una reducción de la curva proyectiva a través de un infinito campo perfecto puede ser incrustado en una suave superficie proyectiva si y sólo si el espacio de la tangente en cada punto tiene dimensión en la mayoría de los 2.
En general, la combinación con el resultado en la incorporación de la suave variedades proyectivas, uno obtiene una incrustación de $X$ en un espacio proyectivo de dimensión limitada por $\dim X$ locales y la incrustación de las dimensiones de $X$.
