Demostrar que $f'(0)=L$ .

Question

Sea $f$ sea continua en $0$ . Supongamos que $\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0} \frac{f(2x)-f(x)}{x} =L$ . Demostrar que $f'(0)=L$ .

Mi trabajo:

$\displaystyle \Bigg|\frac{f(x)-f(0)}{x}-L\Bigg|=\Bigg|\frac{f(x)-f(2x)+f(2x)-f(0)}{x}-L\Bigg|$

$\displaystyle \leq \Bigg|\frac{f(x)-f(2x)}{x}-L\Bigg|+\Bigg|\frac{f(2x)-f(0)}{x}\Bigg|$ . Desde $f$ es continua en $0, |f(2x)-f(0)|$ va a $0$ como $x$ va a $0$ . Ahora quiero deshacerme de $|x|$ de la segunda legislatura. ¿Cómo puedo hacerlo? ¿Puede alguien ayudarme, por favor?

Answer 1

Sea $\epsilon > 0$ arreglarse. Desde $\displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{f(2x)-f(x)}{x} = L$ existe un $\delta > 0$ tal que $(L-\epsilon)y \le f(2y)-f(y) \le (L+\epsilon)y$ para todos $0 < |y| < \delta$ .

Desde $f(x) - f\left(\dfrac{x}{2^n}\right) = \displaystyle\sum_{k = 1}^{n}f\left(\dfrac{x}{2^{k-1}}\right)-f\left(\dfrac{x}{2^k}\right)$ aplicando los límites anteriores para $y = \dfrac{x}{2^k}$ tenemos:

$\displaystyle\sum_{k = 1}^{n}(L-\epsilon)\dfrac{x}{2^k} \le \displaystyle\sum_{k = 1}^{n}f\left(\dfrac{x}{2^{k-1}}\right)-f\left(\dfrac{x}{2^k}\right) \le \displaystyle\sum_{k = 1}^{n}(L+\epsilon)\dfrac{x}{2^k}$

$(L-\epsilon)\left(1-\dfrac{1}{2^n}\right)x \le f(x) - f\left(\dfrac{x}{2^n}\right) \le (L+\epsilon)\left(1-\dfrac{1}{2^n}\right)x$

para todos $0 < |x| < \delta$ .

Ahora, ¿qué pasa si se toma el límite como $n \to \infty$ ?

En caso de que no lo hayas visto, lo solucionaré. Tomando el límite como $n \to \infty$ obtenemos $(L-\epsilon)x \le f(x)-f(0) \le (L+\epsilon)x$ para todos $0 < |x| \le \delta$ . Por lo tanto $f'(0) := \displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{f(x)-f(0)}{x} = L$ según se desee.

Answer 2

Tome cualquier $\varepsilon >0$ y que $\delta >0$ sea un número tal que $$\left| \frac{f(2t) -f(t)}{t} -L\right|\leq \varepsilon $$ para todos $|t|\leq \delta .$ Tome cualquier $t$ con $0<|t|\leq \delta $ entonces tenemos $$\left|\frac{f(t) -f(0)}{t} -L\right | =\left|\frac{\sum_{k=0}^n \left(f\left(\frac{t}{2^k} \right) - f\left(\frac{t}{2^{k+1}} \right) \right)}{t}+\frac{f\left(\frac{t}{2^{k+1}}\right) -f(0)}{t} -L\right|\leq \sum_{k=0}^n \frac{1}{2^{k+1}}\left|\frac{f\left(\frac{t}{2^k} \right) - f\left(\frac{t}{2^{k+1}} \right) }{\frac{t}{2^{k+1}}}-L\right|+\frac{|L|}{2^{n+1}} +\left|\frac{f\left(\frac{t}{2^{k+1}}\right)- f(0)}{t}\right|.$$ Ahora toma $n$ tan grande que $2^{-(n+1)}|L|\leq \varepsilon $ y $\left|f\left(\frac{t}{2^{k+1}}\right)- f(0)\right|\leq \varepsilon |t|$ entonces $$\left|\frac{f(t) -f(0)}{t} -L\right |\leq \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{2^{k+1}}\varepsilon +\varepsilon +\varepsilon <3\varepsilon$$ por lo tanto $f'(0)$ existe.

Answer 3

Tenemos: $2\dfrac{f(2x)-f(0)}{2x}-\dfrac{f(x)-f(0)}{x} \to 2f'(0) - f'(0) = L\to f'(0) = L$