Hay una interpretación combinatoria para:
$$\sum_{i=0}^{n}\binom{3i}{i}\binom{3(n-i)}{n-i}?$$
No creo que no hay una forma cerrada simple, como:
$$\sum_{i=0}^{n}\binom{2i}{i}\binom{2(n-i)}{n-i} = 4^{n}.$$
Se dan varios tipos de pruebas de combinatorias para esta identidad.
Una buena herramienta para este tipo de problemas es la enciclopedia en línea de secuencias de enteros. Computa el valor primeros diez o así de su función de $n$ oeis.org buscado y encontrado una entrada para la secuencia que contiene fórmulas, multicelular, referencias y así sucesivamente.
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