Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js

29 votos

¿Cuándo utilizo "arbitrario" y/o "fijo" en una prueba?

En muchas pruebas veo que alguna variable es "fija" y/o "arbitraria". A veces veo sólo una de ellas y echo de menos una directriz clara al respecto. ¿Podría alguien indicarme una fuente fiable (mejor un libro estándar conocido) que explique cuándo y cómo utilizar ambas en las pruebas?

EDIT: Un pequeño añadido a la pregunta: Tome una inducción habitual sobre los números naturales y suponga que la está enseñando a estudiantes en su primer semestre. ¿Cómo explicas "fijo" y "arbitrario" en este escenario?

3 votos

Como señala Quiaochu Yuan, un lugar en el que se verá esto es el inicio (y a veces el no tan inicio) del análisis. Se trata de un intento, en parte, de desvirtuar la complejidad lógica de ϵδx . En el nivel más temprano, se puede incluso invitar al alumno a pensar en el "fijo" ϵ como ser, digamos, 1/1000 .

1 votos

Bln-tom: Para responder a tu segunda pregunta, lo hice durante el semestre de otoño. La respuesta que puedo darte es simplemente "con cuidado", también es importante explicar que estas palabras no son mágicas. Escribirlas no hará que una mala prueba sea correcta (un error común de los novatos).

38voto

Matt Dawdy Puntos 5479

Tanto "arbitrario" como "fijo" son sólo una abreviatura de un cuantificador universal. Cuando digo algo como "fijo ϵ>0 "significa que voy a demostrar una afirmación que es verdadera para todos ϵ>0 (y así demostrar que alguna función es continua, por ejemplo) pero no quiero escribir realmente "para todo ϵ>0 " delante de cada frase que voy a escribir. Eso es realmente todo lo que hay que hacer.

16 votos

Sin embargo, estoy de acuerdo en que esto es confuso; a primera vista, "arbitrario" y "fijo" suenan como si significaran cosas opuestas, y luego algunas personas dicen "fijar un arbitrario..."

18voto

scubabbl Puntos 6776

Cuando se encuentra el término "arbitrario", normalmente sólo significa que una declaración determinada se especifica para cualquier elemento de un conjunto determinado de elementos. Por ejemplo, si digo que x sea un elemento arbitrario del intervalo [0,1] Sólo quiero decir que x puede tomar cualquier valor dentro de ese intervalo.

El término fijo connota un significado similar pero más específico. Si digo que x sea un elemento fijo del intervalo [0,1] Me refiero a eso, en primer lugar, x es un elemento arbitrario de [0,1] pero su valor es invariable a lo largo de su uso.

La diferencia de significado es sutil pero a veces importante. Si empiezas con un elemento "fijo" no puedes, por ejemplo, elegir su valor en algún momento posterior del argumento. En cambio, si demuestro que algo es válido para un arbitrario de una clase dada, entonces se mantendrá para cualquier elemento particular de esa clase, lo que a menudo puede ser muy útil.

6 votos

Tal vez un ejemplo sería útil en su último párrafo: A veces, en un ϵ - δ La prueba comenzará por demostrar ciertas proposiciones "para un ϵ>0 ", y posteriormente elegir un valor de ϵ que hace que la prueba pase. Sería muy chocante hacer esto si se hubiera empezado con "arreglado ϵ ".

1 votos

@Rahul Buen ejemplo

3 votos

¿Confundes lo arbitrario y lo fijo con variables libres y ligadas ?

1voto

Eric Naslund Puntos 50150

En lugar de ser arbitrario y fijo, veamos algo muy similar donde la diferencia es más pronunciada. Hay una distinción muy importante entre uniforme y fijo . Un ejemplo perfecto es la convergencia de funciones.

Dejemos que fn sea una secuencia de funciones de un conjunto X . Para cada punto xX , dejemos que f se define por f(x)=lim . Es decir, f es el punto de vista y es el límite para fijo x .

Sin embargo, uniforme convergencia es mucho más fuerte, y requiere que el límite sea pequeño para todos x simultáneamente.

Muy a menudo surgen cosas que son fáciles de probar para los fijos x pero muy difícil cuando necesitamos uniformidad en x .

Espero que eso ayude,

1 votos

Aunque tu respuesta es correcta añade confusión, sobre todo porque todas las respuestas dadas hasta ahora (la tuya, la de Qiaochu y la de 3Sphere) son válidas. Deberías añadir alguna aclaración más sobre el asunto.

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X