Límite de la función Zeta y Gamma

Question

¿Puede alguien ayudarme a evaluar este límite?

$$\lim_{x\to +\infty}\frac {\zeta(1+\frac 1x)}{\Gamma(x)}$$

Nunca me he encontrado con este tipo de límite, así que no sé ni por dónde empezar.

Answer 1

Una pista: Tenga en cuenta que para $x>1$ tenemos $$\zeta \left(1+\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{1^{1+\frac{1}{x}}}+\frac{1}{2^{1+\frac{1}{x}}}+\frac{1}{3^{1+\frac{1}{x}}}+\frac{1}{4^{1+\frac{1}{x}}}+\frac{1}{5^{1+\frac{1}{x}}}+\cdots< \\ \frac{1}{1^{1+\frac{1}{x}}}+\frac{1}{2^{1+\frac{1}{x}}}+\frac{1}{2^{1+\frac{1}{x}}}+\frac{1}{4^{1+\frac{1}{x}}}+\frac{1}{4^{1+\frac{1}{x}}}+\cdots = \\ 1+\frac{2}{2^{1+\frac{1}{x}}}+\frac{4}{4^{1+\frac{1}{x}}}+\frac{8}{8^{1+\frac{1}{x}}}+\cdots = \\ 1+\frac{1}{2^{\frac{1}{x}}}+\frac{1}{4^{\frac{1}{x}}}+\frac{1}{8^{\frac{1}{x}}}+\cdots= \\ (2^{-\frac{1}{x}})^0+(2^{-\frac{1}{x}})^1+(2^{-\frac{1}{x}})^2+(2^{-\frac{1}{x}})^3+\cdots = \\ \frac{1}{1-2^{-\frac{1}{x}}}$$

Answer 2

El viejo L'Hôpital nos dice $$\lim_{x\to\infty}\frac{\zeta\left(1+\frac{1}{x}\right)}{\Gamma(x)}=\lim_{x\to\infty}\frac{\zeta^{'}\left(1+\frac{1}{x}\right)}{\Gamma^{'}(x)}=\lim_{x\to\infty}\frac{\zeta^{'}\left(1+\frac{1}{x}\right)}{\Gamma(x)\psi^{(0)}(x)},$$ donde $\psi^{(n)}$ es el $n$ -derivada de la función digamma .

Combinando $\lim\limits_{x\to1}\zeta(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}\Gamma(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}\psi^{(0)}(x)=+\infty$ y $\lim\limits_{x\to1}\zeta'(x)=-\infty$ deducimos que para un tamaño suficientemente grande $x$ la fracción de la izquierda es positiva mientras que la de la derecha es negativa, por lo que si el límite existe debe ser igual a $0$ .

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Alternativamente, el resultado es una reescritura directa $\zeta$ y $\Gamma$ mediante la ecuación funcional de Riemann, la aproximación de Stirling y la definición de producto infinito para la función gamma (debida al propio Euler): $$\displaystyle\Gamma(x)=\frac{1}{x}\prod\limits_{n=1}^\infty\frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^x}{1+\frac{x}{n}}.$$