¿Cómo se realiza el siguiente?
$$\frac{d}{dx} \int_0^x \int_0^x f(y,z) \;dy\; dz$$
Sugerencias de ayuda sería apreciadas. La regla de Leibniz para la integración no parece ser aplicable.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Joe Gauterin
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Funciona la regla del integral de Leibniz.
$$\begin{align}\frac{d}{dx} \int_{0}^{x} dy \left[\int_{0}^{x} f(y,z) dz \right] &=\int_{0}^{x} f(x,z) dz + \int_{0}^{x} dy \frac{\partial}{\partial x}\left[\int_{0}^{x} f(y,z) dz \right]\\ &= \int_{0}^{x} f(x,z) dz + \int_{0}^{x} dy \left[f(y,x) + \int_{0}^{x} \frac{\partial f(y,z)}{\partial x} dz\right]\\ &= \int_{0}^{x} f(x,z) dz + \int_{0}^{x} f(y,x) dy \end {Alinee el} $$ basta recordar cuando el límite de la integración depende del $x$, $\frac{d}{dx}$ en el integral de recoger términos adicionales para los límites de integración. En general:
$$\frac{d}{dx} \int_{a(x)}^{b(x)} g(x,y) dy = g(x,b(x)) b'(x) - g(x,a(x)) a'(x) + \int_{a(x)}^{b(x)} \frac{\partial g(x,y)}{\partial x} dy$$
Johannes
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141
Sugerencia: Utilice el hecho siguiente:
Que $\phi(\alpha)=\int_{u_1}^{u_2}f(x,\alpha)dx, ~~a\leq\alpha\leq b$, donde en el funciones $u_1$ y $u_2$ dependerá del parámetro $\alpha$. Entonces $$\frac{d\phi}{d\alpha}=\int_{u_1}^{u_2}f_{\alpha}dx+f(u_2,\alpha)\frac{du_2}{d\alpha}-f(u_1,\alpha)\frac{du_1}{d\alpha}$ $
Aquí podemos considerar $x$ $\alpha$ y $\int_0^{x}f(y,z)dy$ $g(x,z)$.
Loai Najati
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360
Llame a su integral $I(x)$. ¿Qué representa el $I(x)$? Es la integral de la función $f(y,z)$ sobre un cuadrado con una esquina en $(0,0)$ y la longitud de lado igual a $x$. Por lo es $I(x)$. Ahora, si va de $x$ $x+\Delta x$, ¿qué es $\Delta I$? Es el integral sobre el área de dos pequeñas astillas que envuelven alrededor de su plaza de $(y=x, z=0)$, hasta $(y=x, z=x)$ y volver a $(y=0, z=x)$. Así $\Delta I=\Delta x \times (\int_0^xf(x,z)dz + \int_0^xf(y,x)dy)$. División $\Delta I$ $\Delta x$ y tiene su derivado.
