Modo Goldstone en O(N) (no-lineal $\sigma$ modelo)

Question

La pregunta es ¿No-lineal $\sigma$ modelo tiene un Goldstone modo?

Considere la posibilidad de una $O(N)$ modo para que el Hamiltoniano es $H=J\sum_{i,j}\vec{n}_i \cdot \vec{n}_j$ donde $\vec{n}=(\vec{\pi},\sigma)$ es un N componente de la unidad del rotor con una longitud fija, decir $\vec{n}^2=1$. Si tenemos en cuenta el bajo consumo de energía de excitación por encima de ruptura de simetría el estado del suelo $\vec{n}=(0,0,0,\sigma)$, escribiendo $\sigma=\sqrt{1-\vec{\pi}^2}$, uno puede tener la no-lineal de $\sigma$ modelo para las pequeñas $\vec{\pi}$,

$H=\int d^dx[\frac{J}{2}(\nabla\vec{\pi})^2+\frac{J}{2}(\vec{\pi}\cdot\nabla\vec{\pi})^2-\frac{\rho}{2}\vec{\pi}^2]$,

donde el continuo límite es asumido e $\rho=N/V$. El primer término en el soporte se ve como una vuelta de onda de excitación en un $XY$ modelo, por ejemplo un Goldstone modo. Sin embargo, el segundo término parece reflejar la interacción de esos excitación que puede abrir una brecha, y el tercer término parece una masa plazo. ¿Significa esto que no hay Goldstone modo en un $O(N)$ rotor modo de cuyo ordenó a los estados hacer break continuo de simetría?

Answer 1

Usted debe tener cuidado de que la "masa término" usted escribió es una perturbación de la acción principal.

Para ser más precisos : podemos escribir el Lagrangiano de la no lineal $\sigma$ modelo de ($K=J/T$ donde $T$ es la temperatura del sistema)

$\cal{ L}$ $= \frac{K}{2}[(\nabla \vec\pi)^2+\frac{(\vec\pi\nabla \vec\pi)^2}{1-\vec \pi^2}]-\frac{\rho}{2}\log(1-\vec\pi^2)$.

Ahora, recordemos que este modelo tiene sentido en el límite donde el $K\gg1$, que corresponden, en el clásico giro de lenguaje, el límite donde el sistema está bien en la orden de fase. Por lo tanto, sólo las configuraciones con $\pi\lesssim 1/\sqrt{K}$ dar una contribución importante en la ruta integral. Vamos a ajustar la escala de campo por $g=1/\sqrt{K}$, lo que da

$\cal{ L}$ $= \frac{1}{2}[(\nabla \vec\pi)^2+g\frac{(\vec\pi\nabla \vec\pi)^2}{1-g\vec \pi^2}]-\frac{\rho}{2}\log(1-g\vec\pi^2)$.

Nos puede el Lagrangiano en el poder de $g$, lo que da

$\cal{ L}$ $= \frac{1}{2}(\nabla \vec\pi)^2+\frac{g}{2}[(\vec\pi\nabla \vec\pi)^2+\rho\vec\pi^2]+\cdots$.

Usted puede ver que el desnudo propagador (orden de $g^0$) es ahora sin pausas, y el término proporcional a $\rho$ es ahora una perturbación. De hecho, uno puede mostrar que este plazo es necesario para asegurar que el $\vec\pi$ quedarse sin espacio. De hecho, esta es precisamente la función del logaritmo, que trae nuevas de interacción para asegurar el teorema de Goldstone de la orden por el orden en $g$.

Usted no debe confundirse con el hecho de que esta perturbación es cuadrática en $\vec\pi$, por lo que debe ser incluido en el desnudo propagador, porque este es un muy peculiar tipo de teoría de la perturbación, que la expansión de parámetro es $g$.