No. $\{(0,0)\}$ no es un subespacio de $\mathbb{R}^3$.
Un subespacio debe ser un subconjunto de sus padres de espacio vectorial.
Ahora, $\{(0,0,0)\}$ es un subespacio de $\mathbb{R}^3$ $\{(0,0)\}$ es un subespacio de $\mathbb{R}^2$, pero $\{(0,0)\}$ no es un subespacio de $\mathbb{R}^3$.
En cuanto a tu otra pregunta, un subespacio de dimensión no puede exceder su padre dimensión, pero de ninguna manera debe ser igual a ella.
Por ejemplo: Los subespacios de $\mathbb{R}^3$ son...
$\mathbb{R}^3$ sí (cada espacio vectorial es un subespacio de sí mismo).
Cualquier plano que pasa por el origen es un 2-dimensional subespacio de $\mathbb{R}^3$.
Cualquier línea que pasa por el origen es un 1-dimensional subespacio de $\mathbb{R}^3$.
El origen de la misma, $\{(0,0,0)\}$ es 0-dimensional subespacio de $\mathbb{R}^3$.
¿Por qué la dimensión de un subespacio no superan la dimensión de su padre? Es, esencialmente, porque cualquier subconjunto linealmente independiente (como una base para un subespacio) puede ser extendida a una base de todo el espacio vectorial.
Edit: Coordenadas escrito para representar un subespacio $\not=$ la dimensión del subespacio.
Ejemplo: $W = \{(c,2c,3c)\;|\; c \in \mathbb{R}\}$ es un subespacio de $\mathbb{R}^3$. Ahora, sí, elementos de $W$ son de 3-tuplas, pero esto no $W$ sí 3-dimensional.
Pensar en la "dimensión" en el sentido de que el mínimo número de parámetros necesarios para describir el subespacio, por lo que para $W$ esto es "1". Observe que $W$ consiste en múltiplos de $(1,2,3)$. Esto significa que $\{(1,2,3)\}$ es una base para $W$ y por lo tanto (ya que la base tiene sólo 1 elemento), $W$ es un 1-dimensional subespacio de $\mathbb{R}^3$.
Ahora ¿qué pasa si todo lo que sabemos es que el mundo de la $W$? Entonces usted realmente no necesita una 3-tupla para saber quién eres. En lugar de decir, "Hola soy $(2,4,6)$." Usted podría decir, "Hey soy 2." (siempre y cuando todo el mundo sabe que es la abreviatura de $2(1,2,3)=(2,4,6)$.
Otra analogía es como conducir en una autopista. Si alguien te pregunta de dónde usted está en la I-40 en Carolina del Norte, usted no necesita dar su latitud y longitud. Usted pudiera decir, estoy en el marcador de la milla 319. Aunque la carretera es un 3-dimensional de la cosa (va distintas direcciones y a diferentes alturas) en algún sentido (internamente) es realmente 1-dimensional. Que el interno tipo de dimensión es la que se está discutiendo aquí.
Espero que esto ayude!
