Si $\{a_n\}$ $\{b_n\}$ son de Cauchy, entonces $\{a_n + b_n\}$ es de Cauchy.

Question

Si $\{a_n\}$ $\{b_n\}$ son de Cauchy, entonces $\{a_n + b_n\}$ es de Cauchy.

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Prueba:

$|a_{m_1}-a_{n_1}|\lt \epsilon_1$ $|b_{m_2} - b_{n_2}|\lt \epsilon_2$

A continuación, tome $m_3=\max(m_1,m_2),n_3=\max(n_1,n_2)$

A continuación, $|a_{m_3}+b_{m_3} - a_{n_3}-b_{n_3}|\leq |a_{m_3}-a_{n_3}|+|b_{m_3}-b_{n_3}|\lt2\epsilon$

Ahora estoy seguro de cómo el progreso. Funcionaría si mi original de cauchy secuencias fueron menos de $\frac{\epsilon}{2}$, pero no entiendo cómo me gustaría obtener este. Gracias

Answer 1

Usted puede elegir $\epsilon_1$ $\epsilon_2$ a ser lo que quieras, así que elige a ser $\frac{\epsilon}{2}$. La elección de un valor para $\epsilon_1$ determina un valor de$m_1$$n_1$, pero se puede empezar con cualquier valor de $\epsilon_1$ ( y lo mismo para $\epsilon_2$ ).

La declaración de que ${a_n}$ es de Cauchy es que para cualquier $\epsilon$ existe un $M$ $N$ tal que para cualquier $n>N$ $m>M$ ,$|a_m - a_n| < \epsilon$. Los cuantificadores no son importantes: $M$ $N$ depende de la elección de $\epsilon$. Pero una vez que usted sabe que la sucesión es de Cauchy, usted puede elegir cualquier $\epsilon$, y que le dará un $M$$N$. Así que, normalmente, en estas pruebas, cuando usted está haciendo, usted empezar con lo que has hecho, puede llegar a la final y mirar el obligado se encuentra ( $\epsilon_1 + \epsilon_2$ ) y, a continuación, averiguar lo que usted necesita para comenzar con, por ejemplo, que $\epsilon_1 < \frac{\epsilon}{2}$ $\epsilon_2 < \frac{\epsilon}{2}$

Answer 2

La primera de todas las que has cometido un error: es necesario introducir $N_1$$N_2$, de modo que para cualquier $m_1,n_1 \geq N_1$ tiene la propiedad y similares para el otro.

Habiendo fijado que, si usted tiene $|a_m + b_m - a_n - b_n| < 2 \varepsilon$$m,n \geq N$, son técnicamente hecho, ya que el $2 \varepsilon$ puede hacerse arbitrariamente pequeña, haciendo $\varepsilon$ arbitrariamente pequeño.

Normalmente, para la estética, la dejas $\varepsilon$ ser el número pequeño para la convergencia de la cantidad de interés y, a continuación, elija nuevo pequeñas cantidades por lo que contribuye a que a partir de allí. Aquí usted puede tomar $\varepsilon$ a ser su pequeño número de $a_n+b_n$ y, a continuación, elija $N_1,N_2$, de modo que usted consigue $\varepsilon/2$-la cercanía a $a_n$ $b_n$ respectivamente. Esto es válido debido a que la definición que $a_n$ $b_n$ son de Cauchy dice que usted puede escoger cualquier "$\varepsilon$" que quiere, así que usted puede en particular recogerlo a ser $\varepsilon/2$ (donde $\varepsilon$ ya fue especificado).

Answer 3

Fix $\epsilon > 0$.

$a_n$ $b_n$ son de Cauchy, por lo $\exists N_1, N_2$ tal que $|a_m - a_n| < \epsilon/2$ al $m, n > N_1$ $|b_m - b_n| < \epsilon/2$ al $m, n > N_2$.

Elija $N = \max(N_1, N_2)$, luego tenemos

$$|(a_m + b_m) - (a_n + b_n)| \leq |a_m - a_n| + |b_m - b_n| < \epsilon/2 + \epsilon/2 = \epsilon.$$

siempre que $m, n > N$, lo $\{a_n + b_n\}$ es de Cauchy.

Answer 4

Usted puede dejar a $\epsilon' = 2\epsilon$ para completar la prueba. Sin embargo, ya en NA de las personas (por cualquier razón) insistir en el uso de $\epsilon$ al final de las pruebas, también se podría completar la prueba diciendo algo como: "por último, intercambiando $\epsilon$ $\epsilon'$ completa la prueba."