Muestran que el grupo con la presentación de $\langle a, b, c \mid a^2cb^3\rangle$ es libre con base $\{a, b \}$. Muestran que el grupo con la presentación de $\langle a, b, c \mid a^3b^3 \rangle$ no es libre.
No estoy realmente seguro de cómo seguir con esto - claro que tengo que deshacerme de las relaciones, pero yo no creo que Tietze transformaciones será capaz de hacer eso - cualquier ayuda apreciada!
Aquí es una manera diferente de hacer el segundo problema. Cuántos homomorphisms hay de $G = \langle a,b,c \mid a^3b^3 \rangle$ $C_6$(grupo cíclico de orden $6$)?
Podemos hacer un mapa de $a$ $c$ a cada una de las $6$ elementos de forma independiente, y luego debemos mapa de $b$ a un elemento cuyo cubo es igual al cubo de la imagen de $a^{-1}$. En $C_6 = \langle x \rangle$, hay tres elementos cada uno con cubos $1$$x^3$, por lo que hay tres opciones para la imagen de $b$, haciendo un total de $6 \times 6 \times 3 = 108$ homomorphisms.
Para un grupo libre de rango $n$, $6^n$ tal homomorphisms así, desde la $108$ no es una potencia de $6$, $G$ no puede ser libre.
La solución de la relación de $c$, llegamos a la conclusión de que hay un homomorphism $\langle\, a,b,c\mid a^2cb^3\,\rangle\to \langle a,b\rangle$ dada por $a\mapsto a$, $b\mapsto b$, $c\mapsto a^{-2}b^{-3}$, que es un isomorfismo.
Existe un homomorphism $\langle \,a,b,c\mid a^3b^3\rangle \to \mathbb Z/3\mathbb Z\times \mathbb Z/3\mathbb Z$ dada por $a\mapsto (1,0)$, $b\mapsto(0,1)$, $c\mapsto (0,0)$. Llegamos a la conclusión de que $a\ne b^{-1}$ $\langle \,a,b,c\mid a^3b^3\rangle$ Deje $f\colon\langle \,a,b,c\mid a^3b^3\,\rangle\to\langle u,v,\ldots\rangle$ ser un homomorphism en un grupo. Luego tenemos a $f(a)^3f(b)^{3}=1$ y la conclusión de $f(a)=f(b)^{-1}$. Como $a\ne b^{-1}$, podemos ver que $f$ no puede ser inyectiva.
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