En paralelo campos vectoriales implica una plana de conexión?

Question

Deje $M$ ser una superficie de Riemann y deje $\nabla$ ser su Levi-Cevita conexión. En particular, $\nabla$ es de torsión libre, es decir, $\nabla_X Y - \nabla_Y X = [X,Y]$ para campos vectoriales $X$$Y$.

Pregunta: Supongamos que existen linealmente independiente de vectores de los campos de $X$ $Y$ $M$ tal que $\nabla_XY = \nabla_YX = 0$, es decir, cada uno es paralelo a lo largo de la otra. Tenga en cuenta que, debido a $\nabla$ es de torsiones, esto implica que el vector de los campos de desplazamiento.

¿Esto implica que la conexión de $\nabla$ es plana?

Por la argumentación ad hoc, he principalmente convencido a mí mismo como $X$ $Y$ no puede existir en cualquier pequeño subconjunto de la 2-esfera, al menos en el caso de que ellos también son ortogonales (pero no ortonormales, que hacen de su inexistencia obvio). Sin embargo, no estoy satisfecho con mi argumento. Sospecho que la verdadera razón esto no es posible es que la fuerza de una geometría plana, pero no puedo ver cómo probar esto....

Comentario Trivial: el ángulo entre el $X$ $Y$ debe ser constante (al menos a nivel local, y es realmente el local de la pregunta que me interesa).

Answer 1

La respuesta es, en realidad, no. Podemos tomar $M\subset\Bbb R^3$ a ser la gráfica de una función de $f(x,y)=g(x)+h(y)$, parametrizadas por $\mathbf r(x,y)=\big(x,y,f(x,y)\big)$. Tomamos $X=\partial/\partial x=\mathbf r_x$$Y=\partial/\partial y=\mathbf r_y$. A continuación,$\nabla_Y X = \nabla_X Y = \mathbf r_{xy} =\mathbf 0$. Por otro lado, si tomamos $f$ a ser no lineales (por ejemplo, $f(x,y)=x^2+y^2$), la superficie tendrá un valor distinto de cero de la curvatura.

Por cierto, el ángulo entre el $X$ $Y$ está lejos de ser constante.