La prueba derivada es igual a cero?

Question

Sé que esto debe estar equivocado, pero estoy confundido en cuanto a donde la matemática de la falacia de mentiras.

Aquí está la 'prueba':

$$f '(x) = \lim_{ h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

La Regla de l'Hôpital (El límite anterior era de $\frac{0}{0}$):

$$ f '(x) = \lim_{ h\to 0}\frac{f '(x+h)-f '(x)} {1} $$

Conectar $h$:

$$ f '(x) = f '(x+0)-f '(x) $$

Simplificando:

$$ f '(x) = 0 $$

Estoy asumiendo mi aplicación de la regla de L'Hôpital es falaz, sino que se evalúa a una forma indeterminada, por lo que no L'Hôpital de la regla sigue vigente?

Answer 1

Tomando la derivada con respecto al $h$ le da:

$$f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f'(x + h)}{1}$$

Desde $f(x)$ es constante con respecto a $h$.

Answer 2

Se diferencian el numerador con respecto al $x$, pero el denominador con respecto a $h$.