Dejemos que $F_n$ sea un número de Fibonacci y $p$ un primo. Comprueba que para $p \le 61$ , si $p\equiv\pm1 \pmod{5}$ entonces $p\mid F_{p-1}$

Question

Definir el punto de entrada de Fibonacci de $p$ para ser el menor número entero $n$ tal que $p\mid F_n$

Así, por ejemplo, para $p = 3$ - el punto de entrada de Fibonacci es $n = 4$ desde $F_4 = 3$ y obviamente $3\mid 3$ .

También se nos da la siguiente declaración previamente probada para ser utilizada: $F_{n+i}\equiv kF_{i}\pmod{d}$

Donde $d$ es un número entero, s.t. $d|F_n$ et $k = F_{n+1}$

Esto es lo que tengo hasta ahora:

Comienzo con $p\equiv -1 \pmod5$

Los únicos números primos $\le 61$ tal que $p\equiv -1 \pmod5$ son $19,29,59$ .

Así que verifique que se mantiene para $p = 19$

$19 \mid F_{18} = 2584$

Entonces, a partir de la declaración $F_{n+i}\equiv kF_{i}\pmod d$ , dejando que $i = 10$

$F_{28} \equiv F_{19}F_{10} \pmod{19}$

Ahora, estoy un poco atascado en averiguar cómo puedo mostrar que $29 \mid F_{28}$ .

Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

Para la posteridad, he aquí un esbozo de la prueba de una afirmación más general: Si $p>5$ es primo entonces $p|F_{p\pm 1}$ para alguna elección de $+$ o $-$ . Utilizaremos la teoría algebraica de los números para tratar dos casos.

Caso 1: $5$ es un residuo cuadrático módulo $p$ . En este caso, $p$ se divide en $\mathbf{Z}\left[\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right]=\mathbf{Z}[\varphi]$ . Así, podemos escribir $p=\pm\pi\bar\pi$ , donde $\pi$ et $\bar\pi$ son primos conjugados en $\mathbf{Z}[\varphi]$ que no difieren en una unidad. Escribe $\pi=x+y\varphi$ Así que $x+y\varphi\equiv 0\pmod{\pi}$ . Ahora bien, si $p|y$ entonces $\pi|y,x$ , contradicción, por lo que $p\nmid y$ . Así, $y$ tiene un módulo inverso $p$ , digamos que $y'$ . Entonces tenemos $\pi|p|yy'-1$ Así que $\varphi\equiv -xy'\pmod{\pi}$ . Resumiendo, $\varphi\equiv k\pmod{\pi}$ para algún número entero $k\not\equiv 0\pmod{p}$ . Por FLT, $k^{p-1}\equiv 1\pmod{p}$ Así que $\varphi^{p-1}\equiv k^{p-1}\pmod{\pi}$ . Así, $\varphi^{p-1}\equiv 1\pmod{\pi}$ . Del mismo modo, vemos que $\bar\varphi^{p-1}\equiv 1\pmod{\pi}$ Así que $F_{p-1}\sqrt{5}\equiv 0\pmod{\pi}$ . Desde $p$ et $5$ son necesariamente relativamente primos, $\pi|F_{p-1}$ et $\bar\pi|F_{p-1}$ . Por lo tanto, $\pi\bar\pi = p|F_{p-1}$ en este caso.

Caso 2: $5$ es un no-residuo cuadrático módulo $p$ . Tenemos $5^{(p-1)/2}\equiv -1\pmod{p}$ por el criterio de Euler. Ahora, aplicando el teorema del Binomio a la fórmula de Binet se obtienen varios términos que contienen $\binom{p+1}{k}\equiv 0\pmod{p}$ . Después de reducir el módulo $p$ nos quedaremos con $\dfrac{\sqrt{5}^{p+1}+1}{2^t}$ para algunos $t$ que también es divisible por $p$ (trabajando en $\mathbf{Z}[\varphi]$ ), por lo que $p|F_{p+1}$ en este caso.