Suma de Cerrado Operadores se pude cerrar?

Question

Deje $A$ $B$ ser cerrado a los operadores en un (separable complejo) espacio de Hilbert con densa dominios $D(A)$ $D(B)$ respecitvely. Entonces, podemos definir el operador $A+B$$D(A)\cap D(B)$. En general, no tenemos ninguna razón para creer que este operador será cerrado, lo que plantea la cuestión, es que se pude cerrar?

Espero no ser un idiota de nuevo. . . Alguna idea?

Answer 1

En $\ell^2$, definir $A$ $B$ $(Ax)_n = -(Bx)_n = n^2 x_n$ $n > 1$, $(A x)_1 = \sum_{n=1}^\infty n x_n$ y $(B x)_1 = 0$, con $D(A) = D(B) = \{x: \sum_{n =1}^\infty n^4 |x_n|^2 < \infty \} $. Then if I'm not mistaken $$ and $B$ are closed but $ + B$ is not closable, e.g. (with $e_n$ the standard unit vectors) $\lim_{n \to \infty} e_n/n =0$ while $(a + B) e_n/n = e_1$.