Estoy tratando de demostrar que no hay un mapa continuo $ \phi : \mathbb{C} \times I \to \mathbb{C} $ ( $I = [0,1] $ ) $\phi_{\alpha}(z) = \phi(z,\alpha) $ que satisface lo siguiente: para cada $\alpha \in I$ , $\phi_{\alpha } : \mathbb{C} \to \mathbb{C} $ es $\mathbb{R}$ -lineal, $\phi_{\alpha}(1) \neq 0 $ y $\phi_{\alpha}(zw) = \phi_{\alpha}(z)\phi_{\alpha}(w) $ y $\phi_0(i) = i , \phi_1(i) = -i $ .
Tal vez exista una función de este tipo. Si es así, ¿cómo podemos construirla?
No necesitamos el $\mathbb{R}$ -linealidad para ver que no existe tal mapa. Supongamos que tenemos un mapa continuo $\phi\colon \mathbb{C}\times I \to \mathbb{C}$ tal que $\phi_\alpha \colon z \mapsto \phi(z,\alpha)$ es multiplicativo con $\phi_\alpha(1) \neq 0$ para todos $\alpha$ y $\phi(i,0) = i$ .
A partir de la multiplicidad de la $\phi_\alpha$ obtenemos $\phi_\alpha(1) = \phi_\alpha(1^2) = \phi_\alpha(1)^2$ y por lo tanto $\phi_\alpha(1) \in \{0,1\}$ . Desde $\phi_\alpha(1) = 0$ fue excluido, tenemos $\phi_\alpha(1) = 1$ para todos $\alpha\in I$ .
Ahora $1 = i^4$ y por lo tanto $1 = \phi_\alpha(1) = \phi_\alpha(i^4) = \phi_\alpha(i)^4$ por multiplicatividad, por lo que $\phi_\alpha(i) \in \{ 1, i, -1 , -i\}$ para todos $\alpha\in I$ .
Pero $\gamma\colon\alpha \mapsto \phi(i,\alpha)$ se supone que es continua, y toma valores en un conjunto discreto. Dado que $I$ está conectada se deduce que $\gamma(\alpha) = \gamma(0) = i$ para todos $\alpha\in I$ En particular $\phi_1(i) = i \neq -i$ .
Sería más directo notar que $\phi_{\alpha}(i)=\phi_{\alpha}(i^5)=\phi_{\alpha}(i)^5$ y concluir que $\phi_{\alpha}(i)\in \{1,i,-1,-i,0\}$ , que es discreto.
Por qué $I$ conectado implica $\gamma( \alpha ) = \gamma (0) = i $ para todos $\alpha \in I $ ?
El argumento topológico corto es que las funciones continuas mapean conjuntos conectados a conjuntos conectados. Es una generalización del teorema del valor intermedio, los subconjuntos conexos de $\mathbb{R}$ son precisamente los intervalos (incluyendo los intervalos vacíos $(a,a)$ , monotributistas $[a,a]$ e intervalos en los que uno o ambos extremos son infinitos). Dado que los únicos subconjuntos conexos de un espacio discreto son el conjunto vacío y los unipersonales, se deduce que toda función continua de un espacio conexo a un espacio discreto es constante [esto puede tomarse como la definición de conexidad].
Desde $\phi_\alpha:\mathbb C\to\mathbb C$ es $\mathbb R$ -lineal podemos escribir $$ \phi_\alpha(z)=\phi_\alpha(x+iy)=\begin{pmatrix}a(\alpha)&b(\alpha)\\c(\alpha)&d(\alpha)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}, $$ where $a,b,c,d:[0,1]\to\mathbb R$ are continuous functions. Now since it preserves complex multiplication we have $$ \begin{cases} \phi_\alpha(1\cdot 1)=\phi_\alpha(1)\phi_\alpha(1),\\ \phi_\alpha (i\cdot i)=\phi_\alpha(i)\phi_\alpha(i), \end{cases} $$ que dan $$ \begin{cases} a(\alpha)+ic(\alpha)=(a(\alpha)+ic(\alpha))^2,\\ -a(\alpha)-ic(\alpha)=(b(\alpha)+id(\alpha))^2, \end{cases} $$ La primera ecuación da $a(\alpha)=c(\alpha)=0$ o $a(\alpha)=1,c(\alpha)=0$ . Si $a(\alpha)=c(\alpha)=0$ entonces también $b(\alpha)=d(\alpha)=0$ que se excluye. Así, $a(\alpha)=1,c(\alpha)=0$ y $-1=(b(\alpha)+id(\alpha))^2$ para que $b(\alpha)=0,d(\alpha)=\pm 1$ . En consecuencia, $$ \phi_\alpha(z)=\phi_\alpha(x+iy)=\begin{pmatrix}1&0\\0&d(\alpha)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=x+id(\alpha)y, $$ donde $d(\alpha)=\pm1$ . Este $d$ ¡no puede ser continua!
Sin embargo, el problema parece más interesante que esto. Lo que se busca aquí (parece) es una homotopía $\phi$ entre la identidad y la simetría en el plano complejo (¿con alguna condición adicional?). Si tal homotopía existe, $\phi_1$ debe conservar la orientación como $\varphi_0=$ La identificación sí, y la simetría no.
No debería ser $\phi_{\alpha } = \varphi $ ? por qué se cambia la notación de la primera parte a la segunda.
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