Cómo integrar$\int \frac{e^x dx}{1\,+\,e^{2x}}$

Question

OK, me doy por vencido, he probado con $u$ sustitución e integración por partes pero no puedo solucionarlo. La integral es:

$$\int{\frac{e^x dx}{1+e^{2x}}}$$

He probado $u=e^x$, $u=e^{2x}$ y también la integración por las piezas pero no puede resolverlo. El resultado debe ser:

$$\arctan(e^x)$$

Answer 1

% De uso $u = e^x, du = e^x dx.$

Entonces tienes:

$$\int \frac{du}{1 + u^2} \text{because} \space (e^x)^2 = e^{2x} $$

$$\arctan (u) + C$$

$$\arctan(e^x) + C$$

Answer 2

Como de costumbre, reconociendo patrones puede hacer una gran diferencia. Suponiendo que sabemos que $$\int\frac{dx}{1+x^2}=\arctan x+C\Longrightarrow \int\frac{d(f(x))}{1+f^2(x)}=\arctan(f(x))+C$$we have that, since $ \,(e^x)'= e ^ x\, $, entonces

$$\int\frac{e^x}{1+e^{2x}}\,dx=\int\frac{d(e^x)}{1+(e^x)^2}=\arctan e^x+C$$

Answer 3

Que $u=e^x$. $du=e^x \,dx$ Y $1+e^{2x}=1+u^2$. Usted debe ser capaz de terminar allí. Y no olvide la constante arbitraria de integración.

Answer 4

Sabes la respuesta, por lo que puede dar marcha atrás:

$$(\arctan e^x)'=\frac{(e^x)'}{1+(e^x)^2}=\frac{e^x}{1+e^{2x}}.$$

Esto debe mostrar cómo funcionará la sustitución.

Answer 5

ps