Demuestra la siguiente desigualdad sin utilizar la diferenciación

Question

Dejemos que $a,b,c$ sean números reales que satisfagan $0\le a,b,c\le 1$ . Demostrar que

$$\frac a{b+c+1} + \frac b{a+c+1} + \frac c{a+b+1} + (1-a)(1-b)(1-c) \le 1.$$

No sé por dónde empezar. Multiplicar todo por los denominadores crea un desorden extremo.

Answer 1

WLOG: $a\le b\le c$ entonces \begin{align*}&\dfrac{a}{b+c+1}+\dfrac{b}{c+a+1}+\dfrac{c}{a+b+1}+(1-a)(1-b)(1-c)\\ &\le\dfrac{a}{a+b+1}+\dfrac{b}{a+b+1}+\dfrac{c}{a+b+1}+(1-a)(1-b)(1-c)\\ &=\dfrac{a+b+c}{a+b+1}+\dfrac{(a+b+1)(1-a)(1-b)(1-c)}{a+b+1}\\ &\le\dfrac{a+b+c}{a+b+1}+\dfrac{(1+a)(1+b)(1-a)(1-b)(1-c)}{a+b+1}\\ &=\dfrac{a+b+c}{a+b+1}+\dfrac{(1-a^2)(1-b^2)(1-c)}{a+b+1}\\ &\le\dfrac{a+b+c}{a+b+1}+\dfrac{(1-c)}{a+b+1}\\ &=1 \end{align*}

Answer 2

Dejemos que $f(a, b, c)$ denotan el lado izquierdo de la desigualdad. Dado que $$\frac{\partial^2}{\partial a^2}f=\frac{2b}{(a+c+1)^3}+\frac{2c}{(a+b+1)^3}\ge0$$ tenemos que $f$ es convexo en cada una de las tres variables; por tanto el máximo debe ocurrir donde $a, b, c \in \{0, 1\}$ . Desde $f$ es $1$ en cada uno de estos $8$ puntos, la desigualdad es la siguiente.