Cuenta con número $A$ $24$ factores. Cuenta con número $A\cdot B$ $105$ factores. Encontrar el número mínimo de factores de $B$. Lo he probado. Pero parece que ningún enfoque general hay... La respuesta dada es $12$.
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Si $m$ es un número que puede ser un factor a
$$m=p_1^{e_1} \cdot p_2^{e_2} \cdots p_n^{e_n}$$
then $m$ has $(e_1+1)(e_2+2) \cdots (e_n+n)$ divisores. $A$ $24=2^3 \cdot 3$ divisores, por lo $A$ puede tener en la mayoría de $4$ factores primos, por ejemplo,
$$A=p_1^{e_1} \cdot p_2^{e_2} \cdot p_3^{e_3} \cdot p_4^{e_4}$$
If $Un$ would have $4$ prime factors then $AB$ would have at least $4$ prime factors. But $AB$ ha $105=3 \cdot 5 \cdot 7$ divisores por lo que tiene en la mayoría de las $3$ factores primos. Los factores primos de a $A$ están contenidas en $AB$ $A$ tiene igual o menos factores primos de a $AB$. Suponemos que $AB$ tiene la representación $$AB = p_1^{e_1} \cdot p_2^{e_2} \cdot p_3^{e_3} \tag{1}$$ Si $AB$ se calcula sólo en uno o dos diferentes factores primos, a continuación, añadir uno o dos arbitraria factores primos para la representación de $AB$ con el exponente $0$. $A$ tiene un análogo de la representación con el mismo $p_i$ pero tal vez diferentes exponentes $e_i$ Elegimos los índices de la prime $p_1, P_2, p_3$, de modo que $e_1 \le e_2 \le e_3$ de los exponentes $e_i$ en la representación de $A$ y $p_i \le p_{i+1}$ si $e_i=e_{i+1}$. Debido a $24=(e1+1)(e2+1)(e3+1)$ $(e1+1) \le (e2+1) \le (e3+1)$ tenemos las siguientes posibilidades para el $(e_i+1)$ $A$
Un e1+1 e2+1 e3+1 2 2 6 2 3 4 1 2 12 1 3 8 1 4 6 1 1 24
Para $AB$ tenemos el este de posibilidades (no podemos asumir que $(e1+1) \le (e2+1) \le (e3+1)$ para los exponentes de la factorización de $AB$).
AB e1+1 e2+1 e3+1 3 5 7 3 7 5 5 3 7 5 7 3 7 3 5 7 5 3 3 35 1 35 3 1 1 3 35 1 35 3 3 1 35 35 1 3 5 21 1 21 5 1 1 5 21 1 21 5 5 1 21 21 1 5 7 15 1 15 7 1 1 7 15 1 15 7 7 1 15 15 1 7 105 1 1 1 105 1 1 1 105
Ahora podemos combinar estas tablas y calcular
$$e_i+1 \;\text{of}\; B = (e_i+1 \;\text{of} \;AB)-(e_i+1 \;\text{of}\; A)+1$$
Basically we have to check $6 \cdot 27$ combinations of possible representations of $$ and of $AB$. Pero nos puede ignorar una representación en $A$ tiene una mayor exponente de $AB$. Finalmente, las siguientes posibilidades:
A AB B B e1+1 e2+1 e3+1 e1+1 e2+1 e3+1 e1+1 e2+1 e3+1 prod 2 2 6 3 5 7 2 4 2 16 2 2 6 5 3 7 4 2 2 16 2 3 4 3 5 7 2 3 4 24 2 3 4 3 7 5 2 5 2 20 2 3 4 5 3 7 4 1 4 16 2 3 4 7 3 5 6 1 2 12 1 2 12 1 3 35 1 2 24 48 1 2 12 1 5 21 1 4 10 40 1 2 12 1 7 15 1 6 4 24 1 3 8 1 3 35 1 1 28 28 1 3 8 1 5 21 1 3 14 42 1 3 8 1 7 15 1 5 8 40 1 4 6 3 5 7 3 2 2 12 1 4 6 1 5 21 1 2 16 32 1 4 6 1 7 15 1 4 10 40 1 4 6 1 15 7 1 12 2 24 1 1 24 1 3 35 1 3 12 36 1 1 24 3 1 35 3 1 12 36 1 1 24 1 1 105 1 1 82 82
prod es el número de factores de $B$. El mínimo valor de esta columna es $12$
111
Puntos
450
Que $n=AB=\prod_{j=1}^{k}p_j^{n_j},$ el número de divisores es $\sigma(n)=\prod_{j=1}^k(n_j+1)=105.$ así que dejaron de $k=3.$ $A=\prod_{j=1}^{3}p_j^{a_j},\ B=\prod_{j=1}^{3}p_j^{b_j}.$ entonces $\sigma(A)=(a_1+1)(a_2+1)(a_3+1)=24$ y $\sigma(B)=(b_1+1)(b_2+1)(b_3+1).$ tenemos $a_j+b_j=n_j$ (y tan $0\leq a_j,b_j\leq n_j$) y sin pérdida de generalidad $(n_1+1,n_2+1,n_3+1)=(3,5,7).$ % que $$(a_1,a_2,a_3)\in \{(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(0,3,5),(1,1,5)\}.$$ esto da los siguientes valores de $$\sigma(B)=[(n_1+1)-a_1][(n_2+1)-a_2][(n_3+1)-a_3]=$ $ $$(3-a_1)(5-a_2)(7-a_3)\in \{24,20,16,{\bf 12},{\bf 12},16\}.$$ $\small{\text{(hope not to forget something)}}$
Faiz
Puntos
1660
Clumond
Puntos
4
Deje $A = p_1 ^ {k_1} \times p_2 ^ {k_2} ... p_n ^ {k_n}$
Por lo $24 = (k_1 + 1) \times (k_2 + 1) ... (k_n +1)$
Deje $B = p_1 ^ {l_1} \times p_2 ^ {l_2} ... p_n ^ {l_n} \times q_1 ^ {m_1} \times q_2 ^ {m_2} ... q_v ^ {m_v} ...$ permitiendo $l_i$'s $0$ si es necesario.
A continuación, $105 = ({k_1} + {l_1} + 1) \times ({k_2} + {l_2} + 1) ... ({k_n} + {l_n} + 1) \times ({m_1} + 1) .. ({m_v} + 1)$
Pero 105 = 3 x 5 x 7 ... Así que n <= 3
Caso 1: n=1, $ A = p^{23}$
... más económica $AB = p ^ {34} \times q ^ 2 $ B 12 x 3 = 36 factores
Caso 2: n=2
yo. $A = {p_1} ^ {11} \times {p_2} ^ 1$
... más económica $AB = {p_1} ^ {14} \times {p_2} ^ 6$ B 4 x 6 = 24 factores
ii. $A = {p_1} ^ 7 \times {p_2} ^ 2$
... más económica $AB = {p_1} ^ {14} x {p_2} ^ 6$ B 8 x 5 = 40 factores
iii. $A = {p_1} ^ 5 \times {p_2} ^ 3$
... más económica $AB = {p_1} ^ 6 \times {p_2} ^ 4 \times q ^ 2$ B 12 factores
Caso 3 n=3
yo. $ A = {p_1} ^ 5 \times {p_2} ^ 1 \times {p_3}$
... más económica $AB = {p_1} ^ 6 \times {p_2} ^ 2 \times {p_3} ^ 4$ B 16 factores
ii. $A = {p_1} ^ 3 \times {p_2} ^ 2 \times {p_3}$
... más económica $AB = {p_1} ^ 4 \times {p_2} ^ 2 \times {p_3} ^ 6$ B 12 factores también
Esta búsqueda es exhaustiva, lo que completa la prueba.
barak manos
Puntos
17078
El enfoque general es esta (ejemplo dado por$24$$105$):
$24=6\cdot4\implies{p^{6-1}}\cdot{q^{4-1}}$ $24$ divisores
$105=7\cdot5\cdot3\implies{p^{7-1}}\cdot{q^{5-1}}\cdot{r^{3-1}}$ $105$ divisores
$\dfrac{{p^{7-1}}\cdot{q^{5-1}}\cdot{r^{3-1}}}{{p^{6-1}}\cdot{q^{4-1}}}={p^{2-1}}\cdot{q^{2-1}}\cdot{r^{3-1}}$ $2\cdot2\cdot3=12$ divisores
Cualquier distintos números primos $[p,q,r]$ que usted elija se le dio el mismo número de divisores.
Cada una de las siguientes es una combinación válida de a y AB:
| 105 | 3*35 | 5*21 | 7*15 | 3*5*7
---------|-------|-------|-------|-------|-------
24 | | | X | X | X
---------|-------|-------|-------|-------|-------
2*12 | X | | | | X
---------|-------|-------|-------|-------|-------
3*8 | X | | | | X
---------|-------|-------|-------|-------|-------
4*6 | X | X | | | V
---------|-------|-------|-------|-------|-------
2*2*6 | X | X | X | X |
---------|-------|-------|-------|-------|-------
2*3*4 | X | X | X | X |
---------|-------|-------|-------|-------|-------
2*2*2*3 | X | X | X | X | X
En las combinaciones marcadas X, el valor de B no se entero.
En general, usted debe tratar cada una de las otras combinaciones con el fin de averiguar cuál es el que se obtiene un valor de B con el menor número de divisores (la combinación marcada V es el que he probado).
