Integral con la función de Bessel

Question

Que $n$ ser mitad de un entero impar, decir $n=k+1/2, k \in \mathbb{N}$.

Que $q\geq 1$. Me gustaría calcular (o aproximada) la integral siguiente: $$ \int_0^{\infty}\left(\sqrt{\frac{\pi}{2}}\cdot 1\cdot 3\cdot 5\cdots (2k+1) \frac{J_{k+\frac 12}(t)} {t ^ {k + \frac 12}} \right) ^ t\ q dt. $$

Cualquier ideas o referencias serán muy útiles.

Gracias.

Answer 1

Por fórmulas de Rayleigh contamos con:

$$\sqrt{\frac{\pi}{2}}\frac{J_{k+1/2}(t)}{t^{k+1/2}}=(-1)^k\left(\frac{1}{t}\frac{d}{dt}\right)^k \frac{\sin t}{t}\tag{1}$ $ y desde: %#% $ de #% tenemos: $$\frac{\sin t}{t}=\sum_{m=0}^{+\infty}\frac{(-1)^m\,t^{2m}}{(2m+1)!}$ $ $$\left(\frac{1}{t}\frac{d}{dt}\right)\frac{\sin t}{t}=\sum_{m=1}^{+\infty}\frac{(-1)^m(2m)t^{2m-2}}{(2m+1)!}=(-1)\sum_{m=0}^{+\infty}\frac{(-1)^m (2m+2)t^{2m}}{(2m+3)!},$ $ así: %#% $ #% ahora simplemente da una muy buena aproximación para el lado izquierdo del $$\left(\frac{1}{t}\frac{d}{dt}\right)^k\frac{\sin t}{t}=(-1)^k\sum_{m=0}^{+\infty}\frac{(-1)^m (2m+2k)\cdot\ldots\cdot(2m+2)t^{2m}}{(2m+2k+1)!}$: $$\begin{eqnarray*}(2k+1)!!\cdot\sqrt{\frac{\pi}{2}}\frac{J_{k+1/2}(t)}{t^{k+1/2}}&=&\sum_{m=0}^{+\infty}\frac{(-1)^m (2m+2k)!!(2k+1)!!}{(2m+2k+1)!(2m)!!}\,t^{2m}\\&=&\sum_{m=0}^{+\infty}\frac{(-1)^m \binom{m+k}{m}}{\binom{2m+2k+1}{2m}}\cdot\frac{t^{2m}}{(2m)!}.\end{eqnarray*}\tag{2}$$ $(2)$ $\hspace2in$ aproximación $k=3$

Por lo tanto, la integral partida se puede aproximar por:

$\hspace2in\qquad$$