Integral impropia del logaritmo natural sobre una cuadrática

Question

Necesito evaluar $$\int\limits_0^{+\infty}\frac{\ln{x}}{x^2+x+1}\,\mathrm{d}x\,.$$

No sé cómo integrar esto, y en su mayor parte, ni siquiera creo que sea expresable como funciones elementales. En ese caso, ¿cómo podría incluso manipular la integral utilizando alguna $u$ -¿Sustitución para transformar esto en alguna función integrable? ¿O se puede hacer todo esto sin integración ¿Y alguna sustitución inteligente para encontrar de alguna manera un múltiplo del valor de esta integral?

Answer 1

Sustituir $u=\log(x),$ dando $$ \int_0^\infty \frac{\log(x)}{x^2+x+1}dx = \int_{-\infty}^\infty \frac{u}{e^u+1+e^{-u}}du = 0$$ ya que el integrando es impar. (Y la integral existe ya que el integrando decae exponencialmente en ambas direcciones).

Answer 2

Considerando $$\int_{0}^{\infty}\frac{\ln{x}}{x^2+x+1}\,dx=\int_{0}^{1}\frac{\ln{x}}{x^2+x+1}\,dx+\int_{1}^{\infty}\frac{\ln{x}}{x^2+x+1}\,dx$$ Para la segunda integral, cambiar la variable $x=\frac 1y$ simplificar y admirar.

Answer 3

En primer lugar, la integral es convergente porque :

• $\displaystyle{\frac{\ln(x)}{x^2+x+1}\underset{0}{\sim}\ln(x)}$

• $\displaystyle{\frac{\ln(x)}{x^2+x+1}\underset{+\infty}{=}o\left(\frac1{x^{3/2}}\right)}$

Consideremos ahora el cambio de variable $\displaystyle{t=\frac 1x}$

Usted obtendrá :

$$\int_1^\infty\frac{\ln(x)}{x^2+x+1}\,dx=\int_1^0\frac{-\ln(t)}{\frac1{t^2}+\frac 1t+1}\frac{-dt}{t^2}=-\int_0^1\frac{\ln(t)}{t^2+t+1}\,dt$$

Esto demuestra que :

$$\boxed{\int_0^{+\infty}\frac{\ln(x)}{x^2+x+1}\,dx=0}$$

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Hay que añadir que, de forma más general (y por las mismas razones) :

$$\forall a\in(-2,+\infty),\,\int_0^{+\infty}\frac{\ln(x)}{x^2+ax+1}\,dx=0$$