Definición de la integral de Lebesgue en términos de funciones simples con soporte de medida finita

Question

Deje $(X,\Sigma,\mu)$ ser una medida en el espacio. Una función de la forma $$ \phi(x) = \sum_{i=1}^{n} c_i \mathbf{1}_{E_i} $$ donde $c_i \in \mathbb{R}$ $E_i \in \Sigma$ se llama a una función simple. Si $c_i \geq 0$ todos los $i$, la integral de Lebesgue de $\phi$ es $$ \int \phi d\mu = \sum_{i=1}^{n} c_i \mu(E_i). $$ Deje $f$ ser un no-negativo medibles función. Si $X$ $\sigma$- finito, tenemos \begin{align}\tag{%#%#%} \sup\left\{ \int \phi d\mu : \phi \text{ simple, } 0 \leq \phi \leq f \right\} = \sup\left\{ \int \phi d\mu : \phi \text{ simple, } 0 \leq \phi \leq f, \, \mu(\{x: \phi(x) \neq 0\}) < \infty \right\} \end{align} y su valor es $\ast$, la integral de Lebesgue de $\int f d\mu$.

A ver que $f$ sostiene, es suficiente con considerar los conjuntos de $(\ast)$ $X_1, X_2, \ldots, \in \Sigma$ $X = \cup_{i=1}^{\infty} X_i$ y la nota que $$ \lim_{N \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} c_i \mu(E_i \cap \cup_{i=1}^{N} X_i ) = \sum_{i=1}^{n} c_i \mu(E_i) $$ porque, para cada una de las $\mu(X_i) < \infty$, la secuencia de conjuntos de $i$ es creciente y $$ \bigcup_{N=1}^{\infty} (E_i \cap \cup_{i=1}^{N} X_i) = E_i. $$

Pregunta. Qué $\{ E_i \cap \cup_{i=1}^{N} X_i \}_{N=1}^{\infty}$ si nos relajamos o desechar la hipótesis de que la $(\ast)$ $X$- finito?

Answer 1

Intente tomar$X=[0,1], \Sigma = \mathcal P \left( {[0,1]} \right), \mu(A)=0$ si$A$ es finito o contable, y$\mu(A)=\infty$ si$A$ es incontable. Entonces$\sigma$ - finitud no se mantiene en este espacio de medida.

Considere$f(x)=1.$ Aviso$f$ es$\mu$ - mensurable. Considere la posibilidad de$(*)$ $$\sup \left\{ \int_{X} \phi d\mu:\phi \space \text{simple}, 0 \leq \phi \leq 1\ \right\} =\int_{X} 1 d\mu=1 \cdot \infty=\infty$% #%

Ya que para todas estas funciones$ but for the right hand side of $ en este caso,$, $$\sup \left\{ \int_{X} \phi d\mu:\phi \space \text{simple}, 0 \leq \phi \leq 1\ , \mu\{x:\phi(x) \ne 0\} < \infty \right\}=0$$\phi$$$\mu\{x:\phi(x) \ne 0\}< \infty$$ if and only if $$\mu\{x:\phi(x) \ne 0\}=0$ \ phi $.

Answer 2

Este sencillo ejemplo viene del capítulo 11 del libro de Royden.

Sea$X$ cualquier conjunto no vacío,$\Sigma = \{\emptyset, X\}$,$\mu(\emptyset)=0$, y$\mu(X)=\infty$. Observe la única función simple$\phi$ con$\mu(\{x:\phi(x) \neq 0\}) < \infty$ is$\phi \equiv 0$. Así que si$f \equiv 1$ tenemos $ \ sup \ left \ {\ int \ phi d \ mu: \ phi \ text {simple,} 0 \ leq \ phi \ leq f \ \ right \ D \ mu = 1 \ cdot \ infty = \ infty $$ y $$ \ sup \ left \ {\ int \ phi d \ mu: \ phi \ text {simple} \ Mu (\ {x: \ phi (x) \ neq 0 \}) <\ infty \ right \} = \ int 0 d \ mu = 0. $$